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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 34

Um fio retilíneo infinito possui uma densidade linear de carga igual a 5 ⋅ 10 - 12 C / m . Um próton (massa 1,67 ⋅ 10 - 27 K g , carga + 1,6 ⋅ 10 - 19 C ) está a uma distância de 18 cm do fio e se desloca radialmente no sentido do fio, com velocidade igual a 1,50 ⋅ 10 3 m / s .

a)Calcule a energia cinética inicial do próton. Até que distância mínima do fio o próton pode se aproximar?

Passo 1

letra a)

Energia cinética inicial é dada por:

K o = 1 2 m v o 2 = 1 2 ⋅ 1,67 ⋅ 10 - 27 ⋅ 1,50 ⋅ 10 3 2

K o = 1,88 ⋅ 10 - 21 J

Passo 2

Agora para sabermos até que distância mínima do fio o próton se aproxima, precisamos lembrar da expressão da diferença de potencial para uma distribuição linear de carga:

Δ V = V 2 - V 1 = λ 2 π ε o l n r 1 r 2

Queremos o r 2 , então iremos isolá-lo:

l n r 1 r 2 = 2 π ε o V 2 - V 1 λ → r 1 r 2 = e x p 2 π ε o V 2 - V 1 λ

r 2 = r 1 e x p - 2 π ε o V 2 - V 1 λ

Passo 3

Falta a gente agora calcular qual é a diferença de potencial.

E para isso podemos usar a relação entre a energia potencial e a energia cinética… CONSERVAÇÃO DE ENERGIA!

Δ K = -   q Δ V

1 2 m v 2 - v 0 2 = - q ( V 2 - V 1 )

Como o anel está carregado positivamente, ele irá exercer uma força de repulsão nesse próton. Então, esse próton sofre uma desaceleração até parar. Logo, em r 2 a velocidade dele é nula.

- q ( V 2 - V 1 ) = 1 2 m - v 0 2 → V 2 - V 1 = 1 2 q m v 0 2 = K o q

Como já calculamos a energia cinética inicial

V 2 - V 1 = 1,88 ⋅ 10 - 21 q = 1,88 ⋅ 10 - 21 1,6 ⋅ 10 - 19 = 0,01175   V

Passo 4

Substituindo tudo na expressão do r 2 :

r 2 = 0,18 ⋅ e x p - 2 π ε o 0,01175 5 ⋅ 10 - 12 = 0,18 ⋅ 0,877

r 2 = 0,158 m

Resposta

letra a) K o = 1,88 ⋅ 10 - 21 J e uma distância mínima r 2 = 0,158 m

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