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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 68

68 - Uma resistência R , uma capacitância C e uma indutância L são ligadas em série a uma fonte com amplitude de voltagem V e frequência angular variável ω . Sendo ω = ω 0 a frequência angular da ressonância, calcule:

  1. A corrente máxima no resistor;
  2. A voltagem máxima através do capacitor;
  3. A voltagem máxima através do indutor;
  4. A energia máxima armazenada no capacitor;
  5. A energia máxima armazenada no indutor.

Forneça suas respostas em função de R , C , L e V .

Passo 1

L e t r a   A :

Ora, a corrente no resistor é a corrente no circuito proveniente da fonte, afinal o circuito está em série. A corrente do circuito RLC série é dada pela expressão:

I = V Z

Onde Z é a impedância do circuito R L C dada por...

Z = R 2 + ω L - 1 ω C 2

Logo, a corrente que passa pelo resistor no circuito série sempre pode ser dada assim:

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2

Mas como estamos falando de ω = ω 0 , ou seja o circuito está na ressonância...

ω 0 = 1 L C

Então...

I = V R 2 + L L C - L C C 2

Passando L para dentro da raiz e também o C ...

I = V R 2 + L 2 L C - L C C 2 2   →

I = V R 2 + L C - L C 2   →

I = V R 2   →

I = V R

Essa é a corrente máxima do resistor (e também no circuito) .

Passo 2

L e t r a   B :

Ora, a tensão em cima do capacitor pode ser dada assim:

V C = 1 ω C ⋅ I   →

A corrente I , é a que encontramos no passo anterior, enquanto que ω = ω 0 pelo enunciado. Então...

V C = 1 ω 0 C ⋅ V R   →

V C = 1 1 L C C ⋅ V R   →

V C = L C C ⋅ V R   →

Já sabemos que L C / C é na verdade...

V C = L C ⋅ V R  

Passo 3

L e t r a   C :

Ora, a tensão em cima do capacitor pode ser dada assim:

V L = ω L ⋅ I   →

A corrente I , é a que encontramos no passo anterior, enquanto que ω = ω 0 pelo enunciado. Então...

V L = ω 0 L ⋅ V R   →

V L = 1 L C L ⋅ V R   →

Já sabemos que L / L C é na verdade...

V L = L C ⋅ V R  

Passo 4

L e t r a   D :

Ora, a energia envolvida no capacitor é...

U C = 1 2 C V C 2

Então, substituindo o V C encontrado no passo 2 ...

U C = 1 2 C L C ⋅ V R 2     →

U C = 1 2 C ⋅ L C ⋅ V 2 R 2     →

U C = 1 2 L V 2 R 2  

Passo 5

L e t r a   E :

Já a energia armazenada nos campos magnéticos induzidos do indutor é...

U L = 1 2 L I L 2     →

Onde I L é a corrente que passa pelo indutor e que é a mesma corrente I , já que o sistema está em série. Então...

U L = 1 2 L I 2     →

U L = 1 2 L V R 2     →

U L = 1 2 L V 2 R 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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