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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 70

70 - Repita o Problema 68 para omega = 2 omega_0 .

Passo 1

L e t r a A :

Ora, a corrente no resistor é a corrente no circuito proveniente da fonte, afinal o circuito está em série. A corrente do circuito RLC série é dada pela expressão:

I = (V)/(Z)

Onde Z é a impedância do circuito R L C dada por...

Z = sqrt(R^2 + (omega L - (1)/(omega C))^2)

Logo, a corrente que passa pelo resistor no circuito série sempre pode ser dada assim:

I = (V)/(sqrt(R^2 + (omega L - (1)/(omega C))^2))

Mas como estamos falando de omega = 2 omega_0 , onde omega_0 é a frequência de ressonância do circuito RLC dada pela equação...

omega_0 = (1)/(sqrt(L C))

Então, substituindo omega por 2 omega_0 ...

I = (V)/(sqrt(R^2 + ((2)/(sqrt(L C)) L - (sqrt(L C))/(2 C))^2))

Passando L e para dentro da raiz e também o C ...

I = (V)/(sqrt(R^2 + (2 sqrt((L^2)/(L C)) - (1)/(2) sqrt((L C)/(C^2)))^2)) ->

I = (V)/(sqrt(R^2 + (2 sqrt((L)/(C)) - (1)/(2) sqrt((L)/(C)))^2)) ->

I = (V)/(sqrt(R^2 + ((3)/(2) sqrt((L)/(C)))^2)) ->

I = (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C)))

Essa é a corrente máxima do resistor (e também no circuito) .

Passo 2

L e t r a B :

Ora, a tensão em cima do capacitor pode ser dada assim:

V_C = (1)/(omega C) * I ->

A corrente I , é a que encontramos no passo anterior, enquanto que omega = 2 omega_0 pelo enunciado. Então...

V_C = (1)/(omega_0 C) * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

V_C = (1)/((2)/(sqrt(L C)) C) * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

V_C = (sqrt(L C))/(2 C) * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

Já sabemos que sqrt(L C) // C é na verdade...

V_C = (1)/(2) sqrt((L)/(C)) * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

Podemos simplificar um pouco isso aí...

V_C = (1)/(2) (V sqrt(L))/(sqrt(C) * sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

Como multiplicar raízes é multiplicar o que está dentro...

V_C = (1)/(2) (V sqrt(L))/(sqrt(C (R^2 + (9)/(4) (L)/(C)))) ->

V_C = (1)/(2) (V sqrt(L))/(sqrt(C R^2 + (9)/(4) L))

Passo 3

L e t r a C :

Ora, a tensão em cima do capacitor pode ser dada assim:

V_L = omega L * I ->

A corrente I , é a que encontramos no passo anterior, enquanto que omega = omega_0 pelo enunciado. Então...

V_L = omega_0 L * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

V_L = (2)/(sqrt(L C)) L * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C))) ->

Já sabemos que L // sqrt(L C) é na verdade...

V_L = 2 sqrt((L)/(C)) * (V)/(sqrt(R^2 + (9)/(4) (L)/(C)))

Já fizemos esse produto no passo anterior e nos deu...

V_L = 2 (V sqrt(L))/(sqrt(C R^2 + (9)/(4) L))

Passo 4

L e t r a D :

Ora, a energia envolvida no capacitor é...

U_C = (1)/(2) C V_C^2

Então, substituindo o V_C encontrado no passo 2 ...

U_C = (1)/(2) C ((1)/(2) (V sqrt(L))/(sqrt(C R^2 + (9)/(4) L)))^2 ->

U_C = (1)/(8) C (V^2 L)/(C R^2 + (9)/(4) L)

Passo 5

L e t r a E :

Já a energia armazenada nos campos magnéticos induzidos do indutor é...

U_L = (1)/(2) L I_L^2 ->

Onde I_L é a corrente que passa pelo indutor e que é a mesma corrente I , já que o sistema está em série. Então...

U_L = (1)/(2) L I^2 ->

U_L = (1)/(2) L (V^2)/(R^2 + (9)/(4) (L)/(C)) ->

Ou ainda, multiplicando por C em cima e em baixo...

U_L = (1)/(2) C (V^2 L)/(C R^2 + (9)/(4) L)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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