72 - Um circuito R-L-C em série consome 220   W de uma linha CA de 120   V (valor eficaz) com 50,0   H z . O fator de potência é igual a 0,560 e a voltagem da fonte está adiantada em relação à corrente.

  1. Qual é a resistência líquida R do circuito?
  2. Calcule a capacitância de um capacitor em série capaz de produzir no circuito um fator de potência igual a 1 , quando ele é conectado ao circuito original.
  3. Qual é a nova potência consumida da fonte de alimentação?

Passo 1

L e t r a   A :

Poxa, sabemos que dado o fator de potência, podemos calcular a potência ativa de um circuito RLC:

P = V I cos ⁡ ϕ

Onde cos ⁡ ϕ é o f p (fator de potência). Sabemos ainda que a corrente I pode ser encontrada através de Z (impedância do sistema):

I = V Z

Por último, podemos obter a resistência R pedida no problema através do fator de potências e de Z ...

R = Z cos ⁡ ϕ

Das duas primeiras equações, a gente tira que...

P = V 2 Z cos ⁡ ϕ       →

Z = V 2 P cos ⁡ ϕ

Substituindo-se os valores do enunciado...

Z = 120 2 220 ⋅ 0,56 =

36,7 Ω

Com isso, podemos calcular R ...

R = Z cos ⁡ ϕ   →

R = 36,7 ⋅ 0,56 = 20,6 Ω

Passo 2

L e t r a   B :

Bem, sabemos que a impedância de um circuito RLC é dada por...

Z = R 2 + X L - X C 2     →

Temos Z e R , podemos obter o valor das reatâncias antes de corrigir o fator de potência:

36,7 = 20,6 2 + X L - X C 2     →

X L - X C 2 + 20,6 2 = 36,7 2   →

X L - X C 2 = 36,7 2 - 20,6 2   →

X L - X C = 36,7 2 - 20,6 2   →

X L - X C = 30,4   Ω

Ora, sabemos que corrigir o fator de potência para 1 , faz com que o sistema entre em ressonância, pois X L - X C passa a ser 0 :

X L - X C = 0

Então precisamos que o novo X C que vamos adicionar com o novo capacitor acrescentado no problema, passa a ser X C n o v o = 30,4 , assim:

X L - X C - X C n o v 0 = 30,4 - 30,4 =

0

Saca?

Se então a nova reatância capacitiva é agora X C n o v o = 30,4 , podemos obter o valor da capacitância desse capacitor a ser colocado ( C n o v o ) lembrando-se de que...

X C n o v o = 1 ω C n o v o         →

C n o v o = 1 ω X C n o v o

A frequência angular ω é obtida através da frequência f = 50 H z ...

C n o v o = 1 2 π f X C n o v o =

1 2 π 50 ⋅ 30,4 =

1,05 ⋅ 10 - 4   F

Passo 3

L e t r a   C :

Ora, como estamos falando da ressonância, a potência pode ser encontrada assim:

P = V 2 R

Então...

P = 120 2 20,6 = 699 W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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