69. Um pêndulo é constituído por uma pequena esfera de massa m presa a um barbante de comprimento L . Como mostra a FIGURA PD10.69, a uma altura h = L / 3 em relação ao ponto mais baixo da trajetória normal do pêndulo, há um pino fixo. Qual é o mínimo valor do ângulo θ , a partir do qual o pêndulo é solto, para o qual a esfera conseguirá completar um círculo em torno do pino com o barbante esticado?

Passo 1

Então galera para encontrar o ângulo que o enunciado quer temos que achar a distância que a bolinha foi solta da plataforma onde ela está presa.

Para achar essa distância vamos considerar que o pino é nossa altura 0 , então temos que descobrir a que distancia do pino a bola é solta pois assim podemos subtrair essa distância de 2 L / 3 e encontramos a distância que ela foi solta da plataforma.

Com isso podemos formar um triangulo retângulo e teremos que:

cos ⁡ θ = y L

Para achar a distância da bola inicialmente do pino vamos usar a conservação de energia, mas para isso temos que saber a velocidade que abola deve ter no ponto mais alto da sua trajetória para que ela complete o círculo.

Para descobrir essa velocidade vamos usar a segunda lei de Newton, da seguinte forma:

F G + T = m v 2 r

Onde m v 2 / r é a força centrípeta que faz com que a bola faça o círculo. A força de tração T vai ser zero para que a corda se mantenha esticada e tenhamos a menor velocidade possível para que a bola complete o círculo. Assim:

F G = m v 2 r

Passo 2

Vamos então encontrar a velocidade que a bola deve ter para completar o círculo, temos:

F G = m v 2 r

⇒ m g = m v 2 r

⇒ g = v 2 r

Onde temos que o raio da trajetória é r = L / 3 , assim temos:

v 2 = g L 3

⇒ v = g L 3

Passo 3

Agora vamos fazer a conservação de energia onde a situação inicial é quando a bola ainda está em repouso e a situação final é o ponto mais alto da trajetória da bola, assim:

1 2 m v i 2 + m g y i = 1 2 m v f 2 + m g y f

Temos que a velocidade inicial é zero já que a bola parte do repouso. E a velocidade final é a velocidade que encontramos no passo anterior, assim:

m g y i = 1 2 m g L 3 + m g y f

⇒ y i = L 6 + L 3

⇒ y i = L 2

Passo 4

A distancia que encontramos no passo anterior é a distância da bola ao pino, então a distância da bola até o ponto que ela está presa, assim:

y = 2 L 3 - L 2 = L 6

Agora que temos essa distância podemos encontrar θ , temos:

cos ⁡ θ = y L

⇒ cos ⁡ θ = L / 6 L

⇒ cos ⁡ θ = 1 6

Então temos que:

θ = 80,4 °

Resposta

θ = 80,4 °

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