Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 36.Problemas - Ex. 69
69. Uma rede de radar. Em um sistema típico de radar, a antena gira e varre todas as direções para captar as ondas provenientes do céu. No entanto, no sistema com uma rede de radar, as antenas permanecem fixas e o feixe é varrido eletronicamente. Para entender como esse sistema funciona, considere uma rede com antenas agrupadas ao longo de um eixo horizontal nos pontos . (O número é ímpar) Cada antena
emite uma radiação uniforme ao longo do plano . Todas as antenas emitem radiação coerentemente com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda . Contudo, a fase relativa entre duas antenas consecutivas pode ser variada. Se a antena situada em
emite um sinal dado por medido em um ponto próximo da antena, a antena em emite um sinal dado por medido em um ponto próximo daquela antena. A expressão correspondente para é ; para a antena em , a expressão correspondente é ; e assim por diante. Quando , a figura de interferência a uma distância grande da antena em comparação com possui um máximo principal para (ou seja, ao longo do eixo , perpendicular ao eixo que contém as antenas). Mostre que, para , esse é o único máximo principal da interferência no intervalo angular . Portanto, esse máximo principal descreve um feixe emitido na direção . Conforme descrito na Seção , se é grande, o feixe pode apresentar grande intensidade e se tornar bastante estreito. Se , mostre que o máximo descrito no item está localizado em
onde é medido em radianos. Portanto, fazendo variar de valores positivos até valores negativos e vice-versa, o que pode ser feito eletronicamente com facilidade, o feixe pode ser varrido para frente e para trás em torno da direção . Um radar de previsão de tempo deve ser instalado sobre um avião que emite ondas de rádio com frequência de . A unidade usa uma rede com antenas com de comprimento (desde a antena de uma extremidade até a outra antena na extremidade oposta). Quais devem ser o maior e o menor valor de (ou seja, o maior valor positivo e o maior valor negativo) para que o feixe de radar
possa varrer até à esquerda e à direita da direção do vôo do avião? Dê sua resposta em radianos.
Passo 1
Bem galera esse problema tem um enunciado bem grande e pode nos confundir, então vamos resolver os itens do enunciado em cada passo.
Passo 2
No item temos que provar que para temos somente um máximo em . A expressão que define a existência de máximos é dada por:
Bem, olhando essa fórmula no primeiro máximo em , temos que:
Agora se considerarmos , temos que o primeiro máximo só pode ocorrer para ou
Então no caso em que temos que o único máximo entre ocorro em .
Passo 3
Agora vamos analisar o item .
No máximo principal, quando , a diferença de fase devido à diferença de caminho entre as fendas adjacentes é dada por:
Mas quando adicionamos ou retirarmos uma fase relativa temos que a soma das fases ainda tem que ser zero para termos um máximo, então:
Temos que:
Assim temos que:
Passo 4
Agora para o item vamos usar a expressão que chegamos no item e isolar para encontrarmos seu valor.
Temos o seguinte:
Nós já temos todos os valores exceto que no caso é a posição das antenas. No enunciado fala que temos antenas em , assim:
E lembrando que
Temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Assim temos:
Resposta
Só temos máximo em quando .