58. A intensidade da luz na figura da difração de Fraunhofer de uma fenda única é I = I 0 sen ⁡ γ γ 2 onde γ = π a sen ⁡ θ λ a ) Mostre que a equação que fornece os valores de γ correspondentes aos máximos é dada por tg ⁡ γ = γ . b ) Determine os três menores valores positivos de γ que são soluções dessa equação. (Sugestão: você poderá usar o método das tentativas. Estime um valor inicial para γ e ajuste sua tentativa de modo a tornar o valor de tg ⁡ γ o mais próximo possível de γ . Uma solução gráfica da equação é muito útil para fazer a estimativa do valor inicial.)

( a ) γ = tg ⁡ γ ( b ) γ = 4,49r a d γ = 7,73r a d γ = 10,9r a d

Enunciado

Para mostrar o que é pedido em vamos usar nossos conhecimentos de cálculo e lembrar que para uma função ter máximo a derivada dela tem que ser zero.

Então vamos derivar a intensidade em relação a e ir mexendo na expressão para encontrarmos o que o item quer.

Para o item vamos usar a expressão que queremos chegar em , temos o seguinte:

Podemos definir uma função e fazer o gráfico dessa função e ver os valores de que zeram essa função, pois:

Vamos mostrar o que é pedido em , temos o seguinte:

Fazendo , temos:

E temos que:

Manipulando essa equação um pouco.

Dividindo os dois lados por , temos que:

Agora vamos fazer o gráfico da função que comentei no passo com vocês e encontrar valores de que zerem essa função. Temos:

O item quer os três menores valores positivos de .

Olhando o gráfico dá para ver mais ou menos que a função zera em , e em

Se testarmos esses valores na nossa função vemos que ela bem dizer zera.