Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 36.Problemas - Ex. 60
60. O Universo em expansão. Um cosmologista que está estudando a luz vinda de uma galáxia identifica o espectro de hidrogênio, mas descobre que os comprimentos de ondas estão um tanto deslocados em relação aos encontrados em laboratório. No laboratório, a linha de apresenta um comprimento de onda de . O cosmologista está usando uma rede de difração com na primeira ordem e descobre que a primeira franja brilhante
para a linha do ocorre com um ângulo de em relação à região central. Quão rápido está se deslocando a galáxia? Expresse a sua resposta em e como uma porcentagem da velocidade da luz. Ela está se aproximando ou se afastando de nós?
(: ver Seção .)
Passo 1
Então meus amigos, essa mudança no comprimento de onda na linha de é por conta de um efeito Doppler devido a movimentação da galáxia.
Então vamos usar essa informação para encontrar a velocidade da galáxia através da seguinte equação do efeito Doppler:
Onde é a frequência natural de emissão da linha de e a frequência detectada vinda da galáxia e é a velocidade da galáxia.
Mas o enunciado não nos forneceu frequência, só o comprimento de onda encontrado em laboratório , mas lembrando que:
Então o comprimento de onda dado pelo enunciado é referente a .
Então para conseguirmos encontrar precisamos do comprimento de onda relacionado a que é o detectado vindo da galáxia.
Podemos achar esse valor usando a informação do enunciado sobre o ângulo que a primeira franja brilhante da linha de vindo da galáxia, faremos isso através da seguinte equação:
Onde:
É só isolar e substituir o que sabemos, lembrando que já que se trata da primeira franja.
Passo 2
Vamos então encontrar o referente a , temos o seguinte:
Lembrando que .
Substituindo os valores que sabemos, temos:
Agora vamos partir para encontrar a velocidade da galáxia.
Passo 3
Lá do passo temos a seguinte expressão:
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Assim temos:
Passo 4
Agora vamos pegar a expressão que chegamos no passo anterior e substituir as frequências por:
Temos então:
Substituindo os valores que sabemos temos:
Temos então que:
Como a velocidade é positiva temos que a galáxia está se afastando de nós.
Se dividirmos esse valor pela velocidade da luz temos a porcentagem da velocidade da luz que essa velocidade corresponde.
Assim:
Resposta
A galáxia está se afastando.