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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 36.Problemas - Ex. 57

57. Uma fenda com largura de 0,360   m m é iluminada por raios luminosos paralelos cujo comprimento de onda é 540   n m . A figura de difração é observada sobre uma tela situada a uma distância de 1 , 20   m da fenda. A intensidade no centro do máximo central ( θ = 0 ° ) é igual a I 0 . a ) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo? b ) Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto para o qual I = I 0 / 2 ? (Veja o Problema 36.53 , parte ( a ) , no qual há uma sugestão acerca do cálculo do ângulo de fase β .)

Passo 1

Para encontrar a distância entre o primeiro mínimo o o centro do máximo central, basta pegarmos a equação 36.3 que nos fornece a distância entre a franja escura ou mínimo e o centro, dada por:

y m = x m λ a

Onde x é a distância entre a fenda e o anteparo e a o tamanho da fenda. Vamos ter que m = 1 , já que estamos mexendo com o primeiro mínimo.

O enunciado quer distância entre o centro do máximo central e ponto que tem a seguinte situação:

I = 1 2 I 0

A equação da intensidade é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2

Então na realidade queremos que:

sen ⁡ β / 2 β / 2 2 = 1 2

⇒ sen ⁡ β / 2 β / 2 = 1 2 = 0,7071

Para facilitar nossa vida vamos fazer assim β / 2 = x , então:

sen ⁡ x x = 0,7071

Então temos que achar um valor de x para que essa igualdade seja verdadeira. Se ficarmos na tentativa e erro, vamos encontrar que:

x = 1,39   r a d

Agora temos tudo do que precisamos para o item ( a ) , basta lembrar que:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

E que a distância entre o máximo central e um ponto qualquer é dada por:

y m = x sen ⁡ θ

Passo 2

Vamos então encontrar a distância pedida em ( a ) , temos:

y m = x m λ a

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

y 1 = 1,2 540 ⋅ 10 - 9 0,36 ⋅ 10 - 3

= 1,2 ( 1,5 ⋅ 10 - 3 )

Assim:

y 1 = 1,8 ⋅ 10 - 3   m

Passo 3

Para o item ( b ) , temos o seguinte:

x = β 2

⇒ β = 2 x

⇒ β = 2,78   r a d

Agora vamos pegar a expressão

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

E isolar sen ⁡ θ , temos que:

sen ⁡ θ = λ β 2 π a

Então no final temos que:

y 1 = x λ β 2 π a

Substituindo os valores que conhecemos, ficamos com:

y 1 = 1,2 ( 540 ⋅ 10 - 9 ) ( 2,78 ) 2 π ( 0,36 ⋅ 10 - 3 )

= 1,2 1501,2 ⋅ 10 - 9 2,262 ⋅ 10 - 3

Então temos que:

y 1 = 7,96 ⋅ 10 - 4   m

Resposta

( a )

y 1 = 1,8 ⋅ 10 - 3   m

( b )

y 1 = 7,96 ⋅ 10 - 4   m

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