80. Medições muito acuradas foram feitas durante a corrida olímpica de 100 metros rasos. Um modelo inteiramente realista para a velocidade do velocista é dado por v x = a ( 1 - e - b t ) onde t está em s , v x em m / s e as constantes a e b são características do velocista. O velocista Carl Lewis, em 1987 , correu de acordo com este modelo com a = 11,81m / s e b = 0,6887s - 1 . a . Qual foi a aceleração de Lewis em t = 0s , 2,00s e 4,00s ? b . Obtenha uma expressão para a distância percorrida no instante t . c . Sua expressão para o item anterior é uma equação transcendental, o que significa que você não conseguirá resolvê-la para um t qualquer. Todavia, não é difícil obter o tempo necessário para percorrer uma distância específica por tentativa e erro. Com precisão de 0,01s , determine o tempo gasto por Lewis para correr os 100,0m . Seu tempo oficial era 0,01s a mais do que sua resposta, mostrando que este modelo é muito bom, mas não perfeito.

( a ) a x = 0,517m / s 2 ( b ) x = a b ( b t + e - b t - 1 ) ( c ) t = 9,92s

Enunciado

Vamos lá galera!

Para encontrarmos a aceleração do velocista basta lembrarmos que:

Então basta derivarmos a função que temos da velocidade e substituir os valores que sabemos.

Para encontrarmos a expressão pedida em temos que lembrar que:

Assim temos que:

Então integrando essa expressão encontramos a expressão para posição.

E para o item temos que pegar a expressão do item anterior e tentar encontrar para por tentativa e erro.

Vamos lá então, temos o seguinte para o item , temos:

Então temos que:

Agora substituindo os valores que conhecemos, temos:

Agora vamos encontrar para , e .

Agora vamos para o item , temos o seguinte:

Vamos integrar os dois lados do lado, do lado do vamos integrar de a e do lado de vamos integrar de a .

Assim, temos:

Integrando temos:

Simplificando mais um pouco temos:

Agora vamos para o item , vamos encontrar para um .

Temos o seguinte:

Temos que:

Por tentativa e erro podemos encontrar um . Tirando a prova temos: