80. Medições muito acuradas foram feitas durante a corrida olímpica de 100 metros rasos. Um modelo inteiramente realista para a velocidade do velocista é dado por

v x = a ( 1 - e - b t )

onde t está em s , v x em m / s e as constantes a e b são características do velocista. O velocista Carl Lewis, em 1987 , correu de acordo com este modelo com a = 11,81   m / s e b = 0,6887   s - 1 .

a . Qual foi a aceleração de Lewis em t = 0   s , 2,00   s e 4,00   s ?

b . Obtenha uma expressão para a distância percorrida no instante t .

c . Sua expressão para o item anterior é uma equação transcendental, o que significa que você não conseguirá resolvê-la para um t qualquer. Todavia, não é difícil obter o tempo necessário para percorrer uma distância específica por tentativa e erro. Com precisão de 0,01   s , determine o tempo gasto por Lewis para correr os 100,0   m . Seu tempo oficial era 0,01   s a mais do que sua resposta, mostrando que este modelo é muito bom, mas não perfeito.

Passo 1

Vamos lá galera!

Para encontrarmos a aceleração do velocista basta lembrarmos que:

a x = d v d t

Então basta derivarmos a função que temos da velocidade e substituir os valores que sabemos.

Para encontrarmos a expressão pedida em ( b ) temos que lembrar que:

v = d x d t

Assim temos que:

d x d t = a ( 1 - e - b t )

Então integrando essa expressão encontramos a expressão para posição.

E para o item ( c ) temos que pegar a expressão do item anterior e tentar encontrar t para x = 100   m por tentativa e erro.

Passo 2

Vamos lá então, temos o seguinte para o item ( a ) , temos:

a x = d v d t

a x = d d t a ( 1 - e - b t )

= d d t a - a e - b t

Então temos que:

a x = a b e - b t

Agora substituindo os valores que conhecemos, temos:

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 t

Agora vamos encontrar a x para t = 0   s , t = 2   s e t = 4   s .

t = 0   s :

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 ( 0 )

⇒ a x = 8,13   m / s 2

t = 2 :

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 ( 2 )

⇒ a x = 2,052   m / s 2

t = 4 :

a x = ( 11,81 ) ( 0,6887 ) e - 0,6887 ( 4 )

⇒ a x = 0,517   m / s 2

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) , temos o seguinte:

d x d t = a ( 1 - e - b t )

⇒ d x = a 1 - e - b t d t

Vamos integrar os dois lados do lado, do lado do x vamos integrar de x i = 0 a x e do lado de t vamos integrar de t i = 0 a t .

Assim, temos:

∫ 0 x d x ' = ∫ 0 t a 1 - e - b t d t '

⇒ x = ∫ 0 t a d t ' - ∫ 0 t a e - b t   d t '

Integrando temos:

x = a t ' 0 t + a b e - b t 0 t

⇒ x = a t + a b e - b t - a b

Simplificando mais um pouco temos:

x = a b ( b t + e - b t - 1 )

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) , vamos encontrar t para um x = 100   m .

Temos o seguinte:

x = a b ( b t + e - b t - 1 )

⇒ 100 = 11,81 0,6887 ( 0,6887 t + e - 0,6887 t - 1 )

⇒ 100 = 17,15 ( 0,6887 t + e - 0,6887 t - 1 )

Temos que:

5,83 = 0,6887 t + e - 0,6887 t - 1

⇒ 0,6887 t + e - 0,6887 t = 6,83

Por tentativa e erro podemos encontrar um t = 9,92   s . Tirando a prova temos:

0,6887 ( 9,92 ) + e - 0,6887 ( 9,92 ) = 6,83

6,83 = 6,83

Resposta

( a )

a x = 0,517   m / s 2

( b )

x = a b ( b t + e - b t - 1 )

( c )

t = 9,92   s

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