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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 89

89. Na Figura 13.39 , a esfera de cima é libertada a parti do repouso, colide com a esfera de baixo, que está em repouso, e gruda-se a ela. Ambas as molas têm 50   c m de comprimento. A esfera de cima possui uma massa de 2   k g e está inicialmente a uma altura 10,0   c m acima da esfera de baixo, cuja massa é igual a 3   k g . Ache a frequência e o deslocamento máximo após a colisão.

Passo 1

Para encontrar a frequência do movimento, basta usar a fórmula da frequência de um pêndulo, que é dada por:

f = 1 2 π g L

Agora para achar o deslocamento angular que vai ser um pouco mais chatinho, teremos que saber qual é o comprimento da projeção vertical da mola quando ela se encontra na amplitude máxima, tendo isso, basta fazer:

50 cos ⁡ θ = y

Passando o 50   c m para 0,5   m e sendo o y o comprimento que queremos encontrar, temos:

cos ⁡ θ = y 0,5

Onde θ é o deslocamento angular.

Mas para isso vamos usar conservação de momento para achar a velocidade depois da colisão a de energia para encontrar até que altura o pêndulo subiu.

Para achar a velocidade depois da colisão com a conservação de momento, temos que saber antes a velocidade no instante antes da colisão.

Se você observar a figura a colisão se dá quando o pêndulo tem maior velocidade que é quando ele está totalmente na vertical, assim a velocidade máxima de um pêndulo é dada por:

v m á x = 2 g h 0

Onde h 0 é a altura que ele se encontra do chão nesse chão, que no caso é 0,1   m . Assim:

v m á x = 2 ( 9,8 ) ( 0,1 )

Assim:

v m á x = 1,4   m / s

Essa é a velocidade imediatamente antes da colisão.

Passo 2

Vamos agora achar a velocidade depois da colisão das esferas através da conservação de momento, temos que:

p i = p f

⇒ m 1 v m á x = m 1 + m 2 v f

Isolando v f , temos;

v f = m 1 v m á x m 1 + m 2

Substituindo o que conhecemos, temos:

v f = 2 1,4 2 + 3

⇒ v f = 0,56   m / s

Passo 3

Agora que temos a velocidade, logo depois da colisão, vamos usar a conservação de energia para saber até que altura do chão as bolas chegaram juntas, assim:

E i = E f

⇒ 1 2 M v f 2 = M g h

Onde M é massa das bolas juntas, agora vamos isolar h , temos;

h = v f 2 2 g

Substituindo os valores que sabemos, temos:

h = 0,56 2 2 9,8

⇒ h = 0,016   m

Essa é a altura que as esferas chegam do chão, só que como a mola tem 0,5   m do ponto onde ela está presa até as esferas, temos que:

0,5 - 0,016 = 0,484   m

É a distância vertical de onde a mola está presa até as esferas, que no caso vai ser o valor de y que comentamos no passo 1 .

Passo 4

Agora podemos achar o valor de θ , temos que:

cos ⁡ θ = y 0,5

⇒ cos ⁡ θ = 0,484 0,5

Logo:

θ = arccos ⁡ 0,484 0,5

⇒ θ = 14,5 °

Passo 5

Agora vamos encontrar a frequência do movimento, sabemos que:

f = 1 2 π g L

Sabendo o valor de g e que L = 0,5 , temos;

f = 1 2 π 9,8 0,5

Assim, temos:

f = 0,705   H z

Resposta

θ = 14,5 °

f = 0,705   H z

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