9.13P Uma haste homogênea de comprimento L equilibra-se inicialmente na vertical, apoiada em uma de suas extremidades sobre uma superfície plana horizontal. Um pequeno impulso faz com que a haste caia, partindo de uma velocidade inicial desprezível. A extremidade de apoio da haste fica imóvel durante a queda. Com que velocidade a outra extremidade completa a queda?

Passo 1

Belejóia galerinha, como queremos descobrir a velocidade da extremidade final da haste, podemos trabalhar como se essa extremidade fosse um ponto. O primeiro passo é gente lembrar das leis de conservação de energia, onde a energia mecânica inicial é igual a energia mecânica final, tal que:

E i = E f

Nossa figura é dada como:

E o enunciado nos disse que no momento inicial a haste está na vertical, isso quer dizer que o centro de massa da haste possui apenas energia potencial gravitacional, (diferente da nossa imagem onde a haste está inclinada, o exercício diz que no momento inicial a haste está na vertical) tal que:

E i = m g L 2

Enquanto a energia final, como estamos tratando apenas da extremidade final, podemos dizer que ela é formada apenas por energia cinética de rotação, tal que:

E f = 1 2 I ω 2

De forma que o momento de inércia em relação ao eixo que passa pela extremidade é dado por:

I = m 3 L 2

E a velocidade angular pode ser expressa em termos da velocidade linear como:

ω = v R

Onde R é o raio da extremidade até a outra, logo:

ω = v L

Dessa forma a energia mecânica final é:

E f = 1 2 m 3 L 2 v L 2

E f = m v² 6

Passo 2

Portanto, se a gente igualar as energias teremos que:

E i = E f

m g L 2 = m v² 6

Logo a velocidade final será:

v 2 = 3 g l

v = 3 g l

Resposta

v = 3 g l

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