9.71. Você é o diretor de voo em Terra de um foguete científico de 2000 kg que se aproxima de Marte a 25000 km/h. Ele deve rapidamente baixar sua velocidade para 15000 km/h a fim de iniciar uma descida controlada até a superfície. Se o foguete entrar na atmosfera marciana com muita velocidade, ele queimará completamente, e se entrar lento demais, terá de consumir seu combustível em manobras antes de se aproximar da superfície e acabará se chocando com ela. O foguete tem um novo sistema de freagem: várias “balas” de 5,0 kg cada uma podem ser disparadas diretamente para a frente. Cada uma delas possui uma carga altamente explosiva que a impulsiona a 139000 km/h em relação ao foguete. Você precisa enviar ao foguete uma instrução para que ele dispare o número de balas desejado. O sucesso da empreitada lhe trará fama e glória, todavia o fracasso da missão de 500 milhões de dólares significará a completa ruína de sua carreira.

Passo 1

O modelo do foguete é o seguinte:

E aí para frear o foguete dispara balas para frente:

A cada bala que o foguete dispara, o foguete perde 5   k g , já que a bala é expelida do foguete e pesa 5   k g .

Outra coisa importante que temos que notar é a velocidade com que a bala é disparada, ela tem 139000 m s em relação ao foguete, matematicamente

v f B = v f F + 139000 k m h  

Passo 2

Vamos usar a conservação de momento para uma bala.

p i = p f

O momento inicial é o momento do foguete, o momento final é a soma dos momentos do foguete e da bala.

M v i = M - 5 v f F + 5 v f B

Se a gente conseguir calcular a diferença de velocidade que uma bala causa no foguete, seremos capazes de deduzir quantas balas são necessárias para o foguete parar. A gente achou uma equação para v f B , vamos substituir na equação de conservação de momento.

M v i = M - 5 v f F + 5 v f F + 139000

Agora vamos reorganizar a equação

M v i F = M v f F - 5 v f F + 5 v f F + 5 ⋅ 139000

M v i F = M v f F + 695000

Agora a gente pode fazer o seguinte

v f F - v i F = 695000 M

Δ v F = 695000 M

Então

Δ v F = 347 5 k m h

Passo 3

Beleza, agora a gente sabe quanto de velocidade diminui quando uma bala é disparada. O problema é que depois que essa bala é disparada a massa M do foguete diminui. Então a variação de velocidade vai ser diferente. Mas, como a bala tem apenas 5   k g e o foguete tem 2000   k g , essa diferença pode ser desprezada, e a massa do foguete pode ser considerada constante. Sendo assim, se a gente supor que cada bala diminui exatamente 347 5 k m h   de velocidade, a gente pode calcular quantas balas são necessárias para desacelerar o foguete para ele pousar com segurança, ou seja, diminuir a velocidade para 15000 k m h . Como o foguete está inicialmente à 25000 k m h , o foguete tem que diminuir 10000 k m h .

Podemos calcular o número de balas assim

N = 10000 3475 = 2,8 ≈ 3

Resposta

3   B a l a s

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