Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 54
De acordo com certo modelo, a massa específica da Terra varia com a distância do centro conforme , onde é o raio da Terra e é uma constante. (a) Determine em termos da massa total e do raio . (b) De acordo com este modelo, qual é o momento de inércia da Terra em relação a um eixo que passa pelo seu centro? (Veja o problema 53.)
Passo 1
a) Cara, me conta, cê tá bem?
Então, ele deu o valor da massa específica da Terra:
E ele quer uma expressão para em função da massa total da Terra e o raio dela . Uma boa forma de fazer isso é achar uma expressão da massa total da Terra em função de , aí a gente isola , beleza?
Mas então, como a massa específica é variável (depende de ), a gente precisa usar integral para achar a massa total . A massa pode ser calculada como:
Esse é a massa de um pedacinho da Terra. Aí a gente usa a integral para somar a massa de todos esses pedacinhos e achar a massa total.
Bora montar essa bonita!
Passo 2
Então, é a massa de um pedacinho, né A gente precisa escrever ele em função de e porque nossa função tem variável .
Bem, para fazer isso a gente pode usar a definição de massa específica:
Se o nosso pedacinho da Terra tem massa e volume , então a gente pode escrever que
E como escreve em função de e ? Cara, vamos precisar usar derivadas. O volume da Terra pode ser aproximado por uma esfera, certo? O volume de uma esfera de raio vale:
Se a gente derivar em relação a e isolar
Então temos
Substituindo na nossa integral:
Passo 3
Agora quais são os extremos de integração da nossa querida integral? Cara, é a distância do centro da Terra até um ponto da Terra. O menor valor que ele tem é e o maior é o raio da Terra mesmo . Nossos extremos de integração são:
Então nossa integral fica:
Substituindo
Rearrumando a integral
Resolvendo essas duas integrais que apareceram
Isolando dessa expressão
Passo 4
b) Então, a gente quer o momento de inércia da Terra em relação a um eixo que passa pelo centro dela.
O momento de inércia de uma esfera de raio e massa com relação a um eixo que passa pelo seu centro é:
Só que isso só vale se a massa específica da esfera for constante. Mas a gente viu que a nossa varia. Então o que a gente faz? Chora? Não, calma, amigo. Lutando um pouco mais a gente consegue.
A gente pode usar essa expressão para saber quanto seria o momento de inércia de um pedaço bem pequeno da esfera de massa que está posicionado em um valor genérico . Como? Derivando! Vamos ver como.
Passo 5
A gente vai querer usar a nossa expressão de , porque ela que descreve a distribuição de massa da Terra. Então vamos fazer aparecer naquela expressão de antes de derivar.
Vimos que
E que para uma esfera de raio :
Substituindo
Substituindo isso na expressão de :
Passo 6
Derivando em relação a :
Isolando e arrumando:
Substituindo a expressão de que a gente achou no item a):
Passo 7
Agora pensa comigo. Esse é o momento de inércia de um pedacinho da esfera. Como a gente acha o momento de inércia de todaaa as esfera?
Somando esses vários pedacinhos usando integral! Novamente para percorrer toda a esfera, vamos ter
A integral fica:
Rearrumando:
Integrando:
Prontinho!