A agulha de uma bússola, com 0,050   k g de massa e 4,0   c m de comprimento, está alinhada com a correspondente horizontal do campo magnético da Terra em um local onde a componente tem o valor B h = 16   μ T . Depois que a agulha recebe um leve empurrão, começa a oscilar com uma frequência angular ω = 45   r a d / s . Supondo que a agulha é uma barra fina e uniforme, livre para girar em torno do centro, determine o módulo do momento dipolar magnético da agulha.

Passo 1

O problema fala da agulha de uma bússola que executa um movimento oscilatório na presença de um campo magnético. Devemos relacionar a frequência de oscilação com o momento magnético. Para isso, lembre-se que o torque é dado por

τ → = μ → × B →

Neste caso, como o movimento é oscilatório, o torque deve ser restaurador:

τ = - μ B   s e n   θ

Passo 2

Por outro lado, vimos em física 1 que

τ = I d 2 θ d t 2 ,

onde I é o momento de inércia da agulha. Assim,

I d 2 θ d t 2 = - μ B   s e n   θ

Portanto,

d 2 θ d t 2 = - μ B I   s e n   θ

Para pequenos ângulos de oscilação s e n   θ ≈ θ , de modo que

d 2 θ d t 2 = - μ B I   θ

Essa é exatamente a equação do MHS com frequência angular

ω 2 = μ B I

Assim,

μ = I ω 2 B

Passo 3

O momento de inércia de uma barra fina com comprimento L e massa m , presa pelo centro é dado por

I = m L 2 12

Assim,

μ = m L 2 ω 2 12   B

Usando m = 0,050   k g , L = 4,0 ⋅ 10 - 2   m , ω = 45   r a d / s e B = 16 ⋅ 10 - 6   T , temos que

μ = 840   J / T

Resposta

μ = 840   J / T

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