Uma alpinista com 533,8 N de peso é sustentada por uma corda de segurança presa a um grampo em uma das extremidades e a um mosquetão na cintura da moça na outra extremidade. A linha de açaí da força exercida pela corda passa pelo centro de massa da alpinista. Os ângulos indicados na figura são θ = 40,0 ° e ϕ = 30 ° . Se os pés da moça estão na iminência de escorregar na parede vertica, qual é o coeficiente de atrito estático entre os sapatos de alpinismo e a parede?

Passo 1

Falaa galerinha bonita, show de bolinhas?

Primeira coisa que devemos fazer é investigar as forças que atuam sobre a alpinista, de modo que teremos um digrama mais ou menos assim:

Onde m g é a força peso da alpinista que o enunciado nos deu como 533,8   N , T é a tensão na corda N a força normal atuando sobre o pé da alpinista e f a t é a força de atrito que atua na parede.

Passo 2

Agora, vamos aplicar as equações do equilíbrio de forças e de torques:

Na vertical, temos:

m g - f a t - T cos ⁡ ϕ = 0

m g - μ N - T cos ⁡ ϕ = 0

Na horizontal:

N - T sen ⁡ ϕ = 0

N = T sen ⁡ ϕ

A questão nos pede o valor de μ . Bora lá ver como que fica essa brincadeira então.

Substituindo o valor de N encontrado na segunda equação na primeira, temos:

- m g + μ T sen ⁡ ϕ + T cos ⁡ ϕ = 0

μ = m g - T cos ⁡ ϕ T sen ⁡ ϕ

Passo 3

Agora a malandragem pra gente encontrar os valores de T e μ está no equilíbrio de torques! Vamos investigar a equação desse equilíbrio com relação ao ponto de contato dos pés com a parede, considerando como L 1 e L 2 os comprimentos representados na figura:

Então o somatório dos torques em relação ao ponto de contato dos pés, será dado como:

- L 2 × m g + L 2 × T cos ⁡ ϕ + L 1 × T sen ⁡ ϕ = 0  

E como a gente é sagacidade pura, podemos ver que L 1 e L 2 estão relacionados através do triângulo retângulo que eles formam com a perna da alpinista, tal que:

L 2 L 1 = t a n ⁡ ( θ )

Substituindo L 2 = L 1 tan ⁡ θ na equação anterior, vem:

- L 1 tan ⁡ θ × m g + L 1 tan ⁡ θ × T cos ⁡ ϕ + L 1 × T sen ⁡ ϕ = 0

“cortando” L 1 da jogada, temos:

- m g tan ⁡ θ + T tan ⁡ θ cos ⁡ ϕ + T sen ⁡ ϕ = 0  

Iradoso, agora se a gente isolar T , vamos obter:

T = m g tan ⁡ θ cos ⁡ ϕ tan ⁡ θ + sen ⁡ ϕ

T = 533,8 tan ⁡ 40 ° cos ⁡ 30 ° tan ⁡ 40 ° + sen ⁡ 30 °

T = 365,1 4   N

Passo 4

Maravilha, agora a gente só precisa substituir o valor de T que a gente acabou de encontrar na equação para o coeficiente de atritio μ , logo:

μ = m g - T cos ⁡ ϕ T sen ⁡ ϕ

μ = 533,8 - 365,14 cos ⁡ 30 ° 365,14 sen ⁡ 30 °

Fazendo isso, temos:

μ = 1,19

Resposta

1,19

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