Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 13

Para θ 1 = θ B (ângulo de Brewster) , (a) Calcule r ⊥ ; (b) Calcule t ⊥ ; (c) Calcule o grau de polarização da luz transmitida, em que

P = t ⊥ - t / / t ⊥ + t / /

Passo 1

letra a)

Para fazer essa parte é necessário ter algumas ideias sobre a polarização, amplitude de polarização e refletividade.

Vamos inicialmente relacionar a chamada “Amplitude de Reflexão” com a taxa de “refletividade”. Essa última é definida como a fração de intensidade sobre uma determinada área da interface que se reflete, ou também denominada como porcentagem de reflexão.

Podemos relacionar a porcentagem de reflexão e amplitude da seguinte forma:

r ⊥ = s i n 2 ( θ 1 - θ 2 ) s i n 2 ( θ 1 + θ 2 ) = - R ⊥

Para uma onda linearmente incidente, além da reflexão perpendicular ao plano, ainda temos a reflexão paralela. Essa é dada por:

r / / = t g 2 ( θ 1 - θ 2 ) t g 2 ( θ 1 + θ 2 )

Passo 2

Em certo momento, temos que θ 1 ≡ θ B , no qual θ B (ângulo de Brewster) é o ângulo de incidência para o qual a reflexão consegue anular a componente paralela da onda polarizada. Assim:

r / / = t g 2 ( θ 1 - θ 2 ) t g 2 ( θ 1 + θ 2 ) = 0

Para chegarmos nesse valor, concorde que o denominador com que a gente está trabalhando tem que tender ao infinito. Para isso θ 1 + θ 2 = π / 2 , para r / / = 0 .

Passo 3

Trabalhamos aqui então apenas com a componente perpendicular. A definição do ângulo de Brewster é dado por:

t g θ B = n = n 2 n 1

Sendo n índice de refração e n 1 e n 2 os índices de refração do meio 1 e 2 de acordo com a Lei de Fresnel.

Passo 4

Agora que temos alguns fundamentos de Polarização bem formados, vamos resolver a álgebra do problema. Voltando a equação:

r ⊥ = s i n 2 ( θ 1 - θ 2 ) s i n 2 ( θ 1 + θ 2 )

Vemos que se θ 1 + θ 2 = π / 2 , nossa equação anterior se resume a:

r ⊥ = s i n 2 ( θ 1 - θ 2 )

Vamos agora reescrever essa equação separando em:

r ⊥ = s i n ( θ 1 - θ 2 ) s i n ( θ 1 - θ 2 )

Passo 5

Pegando a expressão do passo anterior:

r ⊥ = s i n ( θ 1 - θ 2 ) s i n ( θ 1 - θ 2 )

Podemos de novo mexer nessa equação usando arco duplo trigonométrico. Lembrando que:

s i n ( θ 1 - θ 2 ) = s i n θ 1 c o s θ 2 - s i n θ 2 c o s θ 1

Assim a expressão acima ficará:

r ⊥ = s i n θ 1 c o s θ 2 - s i n θ 2 c o s θ 1 s i n θ 1 c o s θ 2 - s i n θ 2 c o s θ 1

Passo 6

Sabemos que:

θ 1 + θ 2 = π / 2

e que:

θ 2 = π / 2 - θ 1

Reescrevemos então a expressão do passo 5 substituindo θ 2 , como:

r ⊥ = s i n θ 1 c o s π / 2 - θ 1 - s i n π / 2 - θ 1 c o s θ 1 s i n θ 1 c o s π / 2 - θ 1 - s i n π / 2 - θ 1 c o s θ 1

Lembrem-se que θ 1 = θ B . Assim:

r ⊥ = s i n θ B c o s π / 2 - θ B - s i n π / 2 - θ B c o s θ B s i n θ B c o s π / 2 - θ B - s i n π / 2 - θ B c o s θ B

Trabalhando com outro arco duplo trigonométrico, temos que:

c o s π / 2 - θ B = c o s π / 2 c o s θ B + s i n π / 2 s i n θ B

Com isso a expressão para r ⊥ se resumirá a:

r ⊥ = s i n 2 θ B - c o s 2 θ B 2

Sabemos que:

t g θ B = s i n θ B c o s θ B = n 2 n 1 = n

Substituindo s i n 2 θ B = n 2 c o s 2 θ B podemos chegar na expressão:

r ⊥ = c o s 2 θ B n 2 - 1 2

Passo 7

Sabemos que:

s i n 2 θ B c o s 2 θ B = n 2

Somando 1 em ambos os lados temos que:

s i n 2 θ B c o s 2 θ B + 1 = n 2 + 1

Tirando o MMC, temos que:

s i n 2 θ B + c o s 2 θ B c o s 2 θ B = n 2 + 1

e usando s i n 2 θ B + c o s 2 θ B = 1 , chegaremos na relação:

1 c o s 2 θ B = n 2 + 1 ou c o s 2 θ B = 1 n 2 + 1

Passo 8

Colocando o último resultado em r ⊥ , temos que:

r ⊥ = n 2 - 1 n 2 + 1 2

Sendo o resultado final da letra a esperado.

Passo 9

letra b)

Para a letra (b) usaremos a expressão, no qual r ⊥ + t ⊥ = r / / + t / / =1. E assim também t ⊥ =1- r ⊥ , assim o resultado será:

t ⊥ = 1 - n 2 - 1 n 2 + 1 2

Fazendo uma álgebra teremos que:

t ⊥ = 4 n 2 n 2 + 1 2

Passo 10

letra c)

Do passo anterior sabemos que: r / / + t / / =1. Contudo, como sabemos que para θ 1 = θ B , temos que r / / = 0 . Logo t / / = 1 . Assim, a expressão do enunciado para o grau de polarização da onda transmitida é:

P = t ⊥ - t / / t ⊥ + t / /

Substituindo t ⊥ com o que foi achado na letra b, teremos que:

P = 4 n 2 n 2 + 1 2 - 1 4 n 2 n 2 + 1 2 + 1

Para achar o resultado, façamos o MMC tanto no numerador quanto no denominador. Assim:

P = 4 n 2 - n 2 + 1 2 n 2 + 1 2 4 n 2 + n 2 + 1 2 n 2 + 1 2

Cortando o denominador, e elevando a parte do numerador, encontraremos a seguinte expressão:

P = 4 n 2 - n 4 - 2 n 2 - 1 4 n 2 + n 2 + 1 2

Reescrevendo, acharemos o resultado:

P = - n 2 - 1 2 4 n 2 + n 2 + 1 2

Resposta

Letra (a) r ⊥ = n 2 - 1 n 2 + 1 2

Letra (b) t ⊥ = 4 n 2 n 2 + 1 2

Letra (c) P = - n 2 - 1 2 4 n 2 + n 2 + 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

06. Num meio anisotrópico, para luz que se propaga ao longo de uma “direção principal”, há dois índices de refração diferentes, n 1 e n 2 , conforme a direção de vibração do campo elétrico esteja numa
5. Duas ondas circularmente polarizadas de mesma frequência propagam-se na mesma direção, com amplitude a e 2 a , respectivamente. Descreva a polarização e orientação da onda resultante: ( a ) Se amba
10. Calcule R ⊥ e R ∥ , definidos pelas ( 5.69 ) , inclusive no caso particular θ 1 = 0 . Calcule T ⊥ e T ∥ .
Quando um feixe de luz branca visivel que passa através de um gas de hidrogenio atomico a temperatura ambiente e observado com um espectroscopio,linhas escuras sao observadas nos comprimentos de onda
O ângulo crítico para a reflexão interna total para uma substância é 48 ° . Qual é o ângulo de polarização para a substância?