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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 2

Use a relação do Problema 1 para calcular x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 , a partir de x ^ , ∂ ∂ x .

Passo 1

Nesse tipo de problema de comutador é útil colocarmos uma função teste f ( x ) do lado do comutador, só para não nos perdermos na ordem das operações. No final é só a gente tirar ela que fica tudo bem. Acompanha aqui comigo.

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = x ^ , ∂ ∂ x ∂ ∂ x f x

Pelo problema 1 temos a relação:

 ,   B ^ C ^ =  ,   B ^ C ^ +   B ^  ,   C ^

Então

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = x ^ , ∂ ∂ x ∂ ∂ x f x = x ^ , ∂ ∂ x ∂ ∂ x f x + ∂ ∂ x x ^ , ∂ ∂ x f ( x )

Abrindo os comutadores:

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = x ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ x f x - ∂ ∂ x x ^ ∂ ∂ x f x + ∂ ∂ x x ^ ∂ ∂ x f x - ∂ ∂ x ∂ ∂ x x ^ f x

Agora é só usar a regra da cadeia:

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = x ^ ∂ 2 ∂ x 2 f x - ∂ ∂ x f x - x ^ ∂ 2 ∂ x 2 f x + ∂ ∂ x f x + x ^ ∂ 2 ∂ x 2 f x - ∂ ∂ x f x + x ^ ∂ ∂ x f x

Simplificando

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = + x ^ ∂ 2 ∂ x 2 f x - ∂ ∂ x f x + x ^ ∂ ∂ x f x

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = + x ^ ∂ 2 ∂ x 2 f x - ∂ ∂ x f x - ∂ ∂ x f x - x ^ ∂ 2 ∂ x 2 f x

Então

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 f x = - 2 ∂ ∂ x f x

Agora, vamos retirar a função de teste (viu como ela ajuda na parte de regra da cadeia?)

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 = - 2 ∂ ∂ x

Resposta

x ^ , ∂ 2 ∂ x 2 = - 2 ∂ ∂ x

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