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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 7

O ângulo descrito por uma unidade de disco girando é dado θ t = a + b t - c t 3 , onde a , b e c são constantes positivas tais que se t for dado em segundos, θ deve ser medido em radianos.

Quanto t = 0 , θ = π / 4 r a d e a velocidade angular é 2,0   r a d / s , e quando t = 1,50   s , a aceleração angular é 1,25   r a d / s 2 .

a) Calcule a ,   b   e   c , incluindo suas unidades.

b) Qual é a aceleração angular quando θ = π / 4   r a d ?

c) Quais são θ e a velocidade angular quando a aceleração angular é 3,50   r a d / s 2 ?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos começar calculando os nossos três parâmetros, pra isso a gente vai analisar a equação da posição angular.

Em t = 0 temos que θ 0 = π / 4 e ω 0 = 2   r a d / s . Então vamos usar essas condições para determinar a e b . Começando por a .

Usando a equação para a posição angular temos:

θ 0 = a + b × 0 - c × ( 0 ) 3

θ 0 = a = π 4

Logo a = π 4 r a d .

Passo 2

Daqui em diante a gente vai começar a fazer as derivadas que irão nos ajudar a encontrar os outros parâmetros.

Derivando θ ( t ) para determinar ω ( t ) temos:

ω t = b - 3 c t 2

E no instante inicial:

ω 0 = b = 2 r a d / s

Agora vamos ao c . Derivando ω encontramos a aceleração, e é isso que queremos!

α = d ω d t = - 6 c t

E em t = 1,5 s a aceleração é 1,25   r a d / s 2 . Substituindo na expressão que derivamos agora teremos:

α 1,5 = - 6 c . 1,5 = 1,25

c = - 0,139 r a d / s 3

Em resumo:

a = π / 4 r a d

b = 2 r a d / s

c = - 0,139 r a d / s 3

Passo 3

Temos θ = π / 4 no instante inicial, então o problema pede α 0 .   Substituindo na expressão que encontramos:

α = - 6 × - 0,139 t = 0,834 t

α 0 = 0,834 × 0 = 0

Passo 4

Precisamos determinar qual instante de tempo que α = 3,5 r a d / s 2 para daí encontrar os valores de θ e ω nesse instante, ok? Usando a expressão para α temos:

α = 0,834 t

t = 3,5 0,834 = 4,19 s

Agora é só substituir t = 4,19 s nas expressões para θ ( t ) e ω ( t ) :

θ 4,19 = π 4 + 2 × 4,19 + 0 , 139 × ( 4,19 ) 3 = 19 , 4 r a d

ω 4,19 = 2 + 0,417 4,19 2 = 9,36 r a d / s

Resposta

a )   a = π / 4 r a d

b = 2 r a d / s

c = - 0,139 r a d / s 3

b )   α 0 = 0

c ) θ 4,19 = 19 , 4 r a d   ;   ω 4,19 = 9,36 r a d / s

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