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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 3

A velocidade angular de um volante obedece à equação ω z t = A + B t 2 , onde t está em segundos e A e B são constantes, com valores numéricos de 2,75   ( p a r a   A ) e 1,5   ( p a r a   B ) .

a) Quais são as unidades de A e B , se ω está em r a d / s ?

b) Calcule a aceleração angular do volante para

i) t = 0 s e

ii) t = 5 s .

c) Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2 s ? (Sugestão: veja a seção 2.6 .)

Passo 1

Vamos ver as unidades dessa velocidade angular:

[ ω z ] = A + B t 2

A unidade de ω z é r a d / s e a unidade de tempo é segundo s , então temos:

r a d s = r a d s + B s 2

Aqui a gente vê que A deve ter unidade r a d / s , mas e B ? Bom, ele tem multiplicado a ele um s 2 , então para que o resultado dessa multiplicação dê r a d / s a unidade de B deve ser r a d / s 3 , pois saca só no resultado da multiplicação dessa unidade com s 2 :

r a d s 3 . s 2 = r a d s

E é essa unidade que queremos no final!

Assim temos:

r a d s = r a d s + r a d s 3 s 2

A unidade de A é r a d / s e de B é r a d / s 3 .

Passo 2

Sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Como temos uma expressão para a velocidade em função do tempo, é só derivar e encontramos a aceleração, saca só:

α z = d ω d t

α z = d d t 2,75 + 1,5 t 2 = 2 ⋅ 1,5 ⋅ t = 3 t

Então a aceleração em função do tempo é α z t = 3 t

E em t = 0 :

α z 0 = 3.0 = 0

e em t = 5 :

α z 5 = 3.5 = 15 r a d / s 2

Passo 3

Pegando a velocidade ω em função do tempo t ( ω = 2,75 + 1,5 t 2 ) e integrando desde o tempo inicial t = 0 até o tempo final t = 2 vamos ter quanto o volante andou em relação ao ângulo!

Saca só:

θ = ∫ t 1 t 2 ω d t = ∫ 0 2 ( 2,75 + 1,5 t 2 ) d t

θ = 2,75 t + 1,5 t 3 3 0 2 = 2,75 ⋅ 2 + 1,5 2 3 3 - 2,75 ⋅ 0 + 1,5 0 3 3  

θ = 9,5 r a d  

Beleza? Vamos pra próxima questão?

Resposta

a )   A unidade de A é r a d / s e de B é r a d / s 3

b ) α z 0 = 0

α z 5 = 15 r a d / s 2

c )   θ = 9,5 r a d

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