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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios e Problemas - Ex. 26

  1. Qual é o ângulo ϕ entre os vetores   E → e   F → da FIGURA P3.26?
  2. Use geometria e trigonometria para determinar o módulo e a orientação de G → = E → + F → .
  3. Use os componentes para determinar o módulo e a orientação de G → = E → + F → .

Passo 1

  1. Qual é o ângulo ϕ entre os vetores   E → e   F → da FIGURA P3.26?

    2. Vamos olhar a figura e achar as componentes x e y de cada vetor:

    Para   E → :

    E x = 1

    E y = 1

    Para   F → :

    F x = - 1

    F y = 2

    Passo 2

    Agora vamos achar o ângulo que cada vetor faz com o semi-eixo y positivo:

    Para isso, vamos fazer o seguinte:

    t g   θ = E x E y

    a r c t g   E x E y = θ

    θ = a r c t g 1 1 = 45 °

    E:

    a r c t g   F x F y = β

    β = a r c t g 1 2 = 26,6 °

    Mas não são esses dois ângulos que queremos né, queremos o ângulo entre os dois vetores:

    ϕ = θ + β = 45 ° + 26,6 ° = 71,6 °

    Passo 3

  2. Use geometria e trigonometria para determinar o módulo e a orientação de G → = E → + F → .

    3. Vamos fazer a soma gráfica:

    Para calcular o módulo vamos utilizar a lei dos cossenos:

    G 2 = F 2 + E 2 + 2 E F cos ⁡ ϕ

    ϕ já calculamos, então:

    cos ⁡ ϕ = cos ⁡ 71,6 ° = 0,32

    Precisamos calcular o módulo de   E → e   F → :

    E = E x 2 + E y 2

    E = 1 2 + 1 2

    E = 2

    F = F x 2 + F y 2

    F = - 1 2 + 2 2

    F = 5

    Retornando a lei dos cossenos:

    G = F 2 + E 2 + 2 E F cos ⁡ ϕ

    G = 2,56

    Passo 4

    Agora para determinar a orientação, vamos achar o ângulo que o vetor faz com o eixo x :

    Olha a imagem:

    Já conhecemos quem é o ângulo θ , calculamos lá no passo 2:

    θ = 45 °

    Se o vetor   E → faz 45 ° com o eixo y , ele também faz 45 ° com o eixo x , porque como os dois eixos são perpendiculares, a soma entra esses dois ângulos tem que ser 90 ° . E note que γ é exatamente a soma entre esses dois ângulos, então:

    γ = 90 °

    Passo 5

  3. Use os componentes para determinar o módulo e a orientação de G → = E → + F → .

Como   G → é a soma entre os vetores   E → e   F → , as componentes de   G → também serão a soma das componentes de   E → e   F → :

G x = E x + F x = 0

G y = G y + G y = 3

Agora para calcular o módulo vamos fazer:

G = G x 2 + G y 2

G = 0 2 + 3 2

G = 3

Passo 2

Agora, para acharmos a orientação precisamos achar o valor do ângulo que o vetor   G → faz com o eixo x .

Vimos que a componente x desse vetor é zero, isso quer dizer que ele está na direção do eixo y e consequentemente o ângulo que ele faz com o eixo x é 90 ° . Podemos ver isso na imagem:

O vetor   G → tem módulo igual a 3 e faz 90 ° com o eixo x .

Resposta

  1. ϕ = 71,6 °
  2. G = 2,56 e faz 90 ° com o eixo x .
  3. O vetor   G → tem módulo igual a 3 e faz 90 ° com o eixo x .
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