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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 24

Nos anos de 1960, os astrofísicos procuraram explicar a existência e estruturas dos pulsares – fontes astronômicas de pulsos de rádio extremamente regulares, cujos períodos variam de segundo a milissegundos. Em dado momento, estas fontes de rádio receberam o acrônimo de LGM (Little Green Men – Homenzinhos Verdes), numa referencia à ideia de que elas poderiam ser sinais de civilizações extraterrestres. A explicação hoje aceita é não menos interessante. Considere o seguinte. Nosso Sol, uma estrela bem típica, tem uma massa de 1,99 × 19 30   k g e um raio de 6,96 × 10 8   m . Apesar de não girar uniformemente por não ser um corpo rígido, sua taxa média de rotação é cerca de 1   r e v / 25   d i a . Estrelas maiores do que o sol podem terminar em explosões espetaculares chamadas supernovas, deixando atrás de si um remanescente colapso de estrela chamado de estrela de nêutrons. Estas estrelas de nêutrons possuem massa comparável à massa original das estrelas, mas raios de apenas alguns quilômetros! A grande taxa de rotação é devida à conservação da quantidade de movimento angular durante os colapsos. Estas estrelas emitem feixes de ondas de rádio . Devido à grande rapidez angular das estrelas, o feixe varre a terra em intervalos regulares muito curtos. Para produzir os pulsos de ondas de rádio observador, a estrela deve girar a uma taxas que variam de cerca de 1   r e v / s a 1000   r e v / s . (a) Usando dados do livro-texto, estime a taxa de rotação do Sol se ele viesse a colasar em uma estrela de nêutrons de 10   k m de raio. O sol não é uma esfera unifome de gás e seu momento de inércia vale I = 0,059 M R 2 . Suponha que a estrela de nêutrons seja esférica, com uma distribuição uniforma de massa. (b) A energia cinética de rotação do sol é maior ou menor após o colapso? Ela varia por qual fato, e para onde vai, ou de onde vem , a energia?

Passo 1

Essa questão tem um enunciado bem grande que pode assustar, mas é só fazer um item de cada vez que dá certo.

Como queremos saber a taxa de rotação ( ω ) , podemos fazer conservação do momento angular! Considere 1 antes e 2 depois:

Lembrete: L → = I ω →  

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Logo,

ω 2 = I 1 I 2 ⋅ ω 1       ( i )

Antes de colpsar:

I 1 = 0,059 M R 2 = 0,059 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30 k g ⋅ 6,95 ⋅ 10 5 ⋅ 10 3 m 2

I 1 ≅ 5,69 ⋅ 10 46 k g ⋅ m 2

Se colapsar, temos:

I 2 = 2 5 M R 2 = 2 5 1,99 ⋅ 10 30 k g ⋅ 10 ⋅ 10 3 m 2

Assim:

I 2 ≅ 7,96 ⋅ 10 37   k g ⋅ m 2

Voltando em ( i ) :

ω 2 = 5,69 ⋅ 10 46 k g ⋅ m 2 ( 7,96 ⋅ 10 37   k g ⋅ m 2 ) ⋅ 1   r e v 25   d i a

Fazendo as contas:

ω 2 = 2,9 ⋅ 10 7 r e v d i a

Passo 2

A primeira parte já foi! Agora vamos analisar a energia cinética antes e depois:

Antes de colapsar, temos:

K a n t e s = I 1 ω 1 2 2 = 5,69 ⋅ 10 46 k g ⋅ m 2 ⋅ 1   r e v 25   d i a 2 2  

E depois:

K d e p o i s = I 2 ω 2 2 2 = 7,96 ⋅ 10 37   k g ⋅ m 2 ⋅ 2,9 ⋅ 10 7 r e v d i a 2 2

Passo 3

Fazendo as contas, as coisas ficam assim:

K a n t e s ≅ 4,55 ⋅ 10 43 ⋅ k g ⋅ m 2 ⋅ r e v 2 d i a 2

K d e p o i s ≅ 3,35 ⋅ 10 52 ⋅ k g ⋅ m 2 ⋅ r e v 2 d i a 2

Portanto, a energia após o colapso é maior!

K d e p o i s - K a n t e s k a n t e s ≅ 7,3 ⋅ 10 9

A energia adicional vem do aumento de energia potencial gravitacional!

Resposta

  1. ω 2 = 2,9 ⋅ 10 7 r e v d i a
  2. K d e p o i s - K a n t e s k a n t e s ≅ 7,3 ⋅ 10 9

A energia adicional vem do aumento de energia potencial gravitacional!

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