Aplicação da lei de Gauss para a gravitação. Usando a lei de Gauss para a gravitação (deduzida na parte do Problema ), mostre que as seguintes afirmações são verdadeiras: Para qualquer distribuição de massas esfericamente simétrica com massa total , a aceleração da gravidade fora da distribuição é a mesma que aquela produzida se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro. (Sugestão: Veja o Exemplo na Seção .) Para qualquer ponto no interior de uma casca esférica com massa distribuída uniformemente em sua superfície, a aceleração da gravidade é igual a zero. (Sugestão: Veja o Exemplo .) Caso fosse possível fazer um buraco retilíneo através do centro de um planeta esfericamente simétrico, com densidade uniforme, verificaríamos que o módulo de seria diretamente proporcional à distância ao seu centro (Sugestão: Veja o Exemplo na Seção .) Provamos esses resultados na Seção fazendo cálculos muito trabalhosos; as provas mediante o uso da lei de Gauss da gravitação são muito mais simples.

Agora, para a região , consideramos uma superfície gaussiana com esse raio.

No entanto, como a massa está distribuída apenas pela sua superfície, não há nenhuma massa sendo envolvida pela superfície gaussiana. Portanto, através da equação

Concluímos que a aceleração da gravidade é zero.

Da mesma forma, para a região , aplicamos a lei de Gauss para uma superfície gaussiana com esse raio. Logo:

No entanto, para essa região, a densidade é distribuída uniformemente.

Assim, devemos calcular a massa total envolvida pela superfície, tal que:

Devemos lembrar que essa densidade é da distribuição de massas pelo planeta esférico de raio , logo:

Como descobrimos antes, a aceleração da gravidade é dada por:

E, substituindo o valor da massa envolvida:

Então:

Que é uma equação diretamente proporcional à .