Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 20
(a)Qual é a soma dos quatro vetores a seguir em termos de vetores unitários? (b) Para essa soma, quais são (b) o módulo, (c) o ângulo em graus, e (d) o ângulo em radianos?
Passo 1
Para resolver este tipo de problema é preciso lembrar que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares dos vetores e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo, com isso obtemos as componentes do vetor soma e escrevendo as componentes usando a notação de vetores unitários podemos escrever o vetor resultante da soma. Logo:
Para isso, precisamos lembrar que, dado o módulo do vetor () e o ângulo que este faz com o semieixo positivo (), podemos escrever suas componentes da seguinte maneira:
Não menos importante, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor é dado por:
E o ângulo medido em relação ao semieixo positivo é dado por:
Neste problema nós conhecemos o módulo de quatro vetores (,, e ) e os respectivos ângulos (, , e ) e precisamos determinar o vetor resultante da soma dos quatro vetores em termos dos vetores unitários, o módulo do vetor soma e o ângulo em radianos e em graus que este vetor faz com o semieixo positivo.
Passo 2
Para determinar as componentes escalares do vetor utilizaremos as equações explicitas acima, assim:
Para determinar as componentes escalares do vetor , e faremos de maneira análoga:
Passo 3
Escreveno a soma vetorial dos quatro vetores:
Agora, somamos as componentes eixo por eixo:
Portanto, podemos fazer a combinação dessas componentes de para escrever o vetor em termos dos vetores unitários:
Passo 4
Vamos aplicar a definição de módulo explicitada no passo inicial para determinar o módulo do vetor soma:
Passo 5
Para determinar o ângulo que o vetor faz com o semieixo positivo também usaremos a equação também explicitada no passo inicial:
Devemos tomar cuidado quando utilizando a função na calculadora, pois dois ângulos e possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.
Como nosso vetor possui a componente e a componente positivas, então este só pode estar no primeiro quadrante, pois é o único cujo o seno e cosseno são positivos, portanto:
Passo 6
Para determinar o ângulo em radianos, multiplicaremos o valor do ângulo encontrado em graus pelo fator de conversão que é:
Assim:
Resposta
- ;
- ;
- ;
- .