Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 112
Um arame longo e fino de comprimento tem uma densidade linear de massa dada por , onde e são constantes positivas e é a distância a partir da extremidade de maior massa. (a) A condição para que esse problema seja realista é que . Explique por quê. (b) Determine em termos de , e . A sua resposta faz sentido se ? Explique.
Passo 1
(a) O enunciado diz que a densidade linear de massa é dada pela seguinte expressão:
E sabemos que vai variar de até . O que aconteceria se fosse menor do que . Bom, quando fosse igual a , teríamos o seguinte:
Ou seja, teríamos uma densidade linear de massa negativa, o que não faz sentido, então precisa ser maior do que .
Passo 2
(b) Vamos usar a fórmula para calcular o centro de massa:
Agora podemos resolver as integrais, começando pela primeira:
E então para a segunda integral:
Substituindo de volta na fórmula:
Multiplicando por no numerador e no denominador:
Passo 3
O que acontece com quando ? Para a posição do centro de massa, acontece o seguinte:
E para a densidade linear:
Ou seja, ficamos com uma barra de densidade constante, com centro de massa localizado exatamente na metade do seu comprimento, que é exatamente o resultado esperado.
Resposta
(a) Isso é necessário para respeitar o fato de que a densidade linear não pode ser negativa.
(b) A posição do centro de massa é dada por e o resultado é consistente para .