Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 33.Problemas Adicionais - Ex. 78
O arco-íris orimário descrito no problema 77 é o tipo mais comum, produzido pela luz refletida apenas uma vez no interior das gotas de chuva. Um tipo mais raro é o arco-íris secundário descrito na seção 33-8, produzido pela luz refletida duas vezes no interior das gotas. (a) Mostre que os desvio angular sofrido por um raio luminoso ao atravessar uma gota de chuva esférica é dado por , em que k é o número de reflexões internas. Use o método do Problema 77 para determinar o ângulo de desvio mínimo (b) para a luz vermelha e (c) para a luz azul de um arco íris secundário. (d) Determine a largura angular desse tipo de arco-íris.
O arco-íris secundário estaria associado a três reflexões internas. É provável que esse tipo de arco-íris realmente aconteça, mas, como foi comentado na seção 33-8, não é possível observa-lo porque é muito fraco e corre na direção do Sol. Destermine o ângulo de desvio mínimo (e) para a luz vermelha e (f) para a luz azul de um arco-íris terciário. (g) Determine a largura angular desse tipo de arco-íris.
Passo 1
a) A primeira contribuição que temos para o desvio total da luz é a primeira refração que pode ser dada por:
A segunda contribuição é uma reflexão, desta forma temos que o ângulo entre o raio luminoso antes da reflexão e a normal é o ângulo após a reflexão também é , levando em conta a inversão do sentido da propagação do raio de luz, temos:
Em seguida podemos ter k reflexões no interior da gota que pode ser dado por:
A última contribuição é a refração que acontece quando o raio sai da gota, que é:
Portanto o ângulo de desvio é:
Passo 2
b) Para descobrir quem é o mínimo podemos escrever, em função de . Pra isso precisamos utilizar a lei de Snell.
Considerando o índice de refração do ar aproximadamente 1:
Substituindo esse valor de no ângulo de desvio:
Pra um arco-íris secundário temos que e para a luz vermelha temos . Derivando e igualando a , obtemos que e mínimo são:
Passo 3
c) Fazendo o mesmo para a luz azul mas considerando e , , obtemos que e mínimo são:
Passo 4
d) A largura angular do arco-íris é dada pela diferença do ângulo de desvio, que é:
Passo 5
f) Para esse caso teremos a mesmas função
Mas agora iremos considerar e manteremos para a luz vermelha. Derivando e igualando a zero obtemos:
Passo 6
g) Considerando e manteremos para a luz azul, obtemos:
Passo 7
h) A largura angular do arco-íris é dada pela diferença do ângulo de desvio, que é:
Resposta
b)
c)
d)
e)
f)
g) 4,4°