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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios e Problemas - Ex. 81

81. Um arqueiro parado em pé sobre uma rampa inclinada para baixo em 15 ° dispara uma flecha em um ângulo de 20 ° acima da horizontal, como mostra a FIGURA PD4.81. A que distância sobre a rampa a flecha atingirá a mesma se for disparada a 50   m / s e de 1,75   m de altura em relação ao solo

Passo 1

Tudo bem senhores!? Aqui vamos nós de novo pra mais uma questãozinha de Cinemática!

E pra resolver esse tipo de questão, já sabe né?

Primeiramente, bora fazer um esboço pra ajudar a entender melhor o nosso problema...

De modo que obtemos então, a seguinte imagem abaixo...

E pelo que sabemos dos problemas de movimento oblíquo e também do que lemos no enunciado, tiramos que...

x 0 = 0   m

y 0 = 1,75   m

t 0 = 0

v 0 = 50   m / s

v 0 x = 50 cos ⁡ 20 °   m / s

v 0 y = 50 sen ⁡ 20 °   m / s

a y = - g

Onde o objetivo aqui é encontrar a distância sobre a rampa que a flecha atingirá... no caso precisaremos de x 1 e y 1 .

Depois; por incrível que pareça, basta usar Pitágoras. É isso mesmo que você acabou de ler. Esse teorema vai acompanhar a gente até a eternidade, rs rs rs!

Por isso, mãos à obra!

Passo 2

Bom! Tomando ( 0 ) como o instante inicial do movimento da flecha, pra facilitar a nossa resolução, bora dividir o movimento dela em duas partes, vertical e horizontal...

Na horizontal, em x , nossa flecha não tem aceleração influenciando seu movimento. Sendo assim, ela executa um movimento uniforme, com velocidade constante.

Olhando pra nossa figura, ficamos então com...

x 1 = x 0 + v 0 x ( t 1 - t 0 )

E substituindo os valores numéricos de cada variável;

x 1 = 0   m + v 0 x ( t 1 )

x 1 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) t 1

Obtemos a equação que descreve o movimento em x ...

Passo 3

Indo agora pra direção vertical, temos nessa direção a presença da aceleração da gravidade para baixo influenciando a trajetória da flecha.

Desse modo, peguemos a equação abaixo da posição para o movimento uniformemente variado... É claro, usando as variáveis da nossa figura, né!?

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 + a y 2 ( t 1 - t 0 ) 2

Esse a y é a nossa aceleração da gravidade g , com sinal negativo porque aponta para baixo...

O que nos faz ficar com...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - g 2 ( t 1 - t 0 ) 2

Desse modo, substituindo os valores conhecidos...

y 1 = y 0 + v 0 y t 1 - t 0 - g 2 ( t 1 - t 0 ) 2

y 1 = 1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2

Obtemos o valor da equação que descreve o movimento vertical!

Tamo indo bem!

Passo 4

Por fim, como sabemos que a flecha atinge o solo formando um ângulo de 15 ° com a horizontal, no sentido horário, isso significa que a seguinte relação abaixo é valida...

y 1 x 1 = tan ⁡ ( - 15 ° )

O ângulo fica negativo, por causa que no sentido horário, a convenção adotada é negativa. Isso aí já é manjado, mano!

Desse modo, substituindo as equações de posição obtidas anteriormente...

y 1 x 1 = tan ⁡ ( - 15 ° )

1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2 ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) t 1 = tan ⁡ ( - 15 ° )

1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) tan ⁡ ( - 15 ° ) t 1

1,75   m + ( 17,10   m / s ) t 1 - ( 4,91   m / s ² ) t 1 2 = - ( 12,59   m / s ) t 1

Temos a seguinte equação para resolver...

1,75 + 17,10   t 1 - 4,91 t 1 2 = - 12,59 t 1

4,91 t 1 2 - 29,69 t 1 - 1,75 = 0

Como é uma equação do 2 °   grau no formato a t 1 2 + b t 1 + c = 0 , basta usar a já conhecida fórmula abaixo...

t 1 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t 1 = - ( - 29,69 ) ± ( - 29,69 ) 2 - 4 ⋅ ( 4,91 ) ( - 1,75 ) 2 ⋅ 4,91

t 1 = 29,69 ± 910,1611 2 ⋅ 4,91   s

t 1 = 3,023 ± 3,082   s

t 1 ≅ - 0,059   s

t 1 ≅ 6,11   s

E uma vez que só trabalhamos com tempo positivo, então...

t 1 ≅ 6,11   s

Passo 5

Obtido o tempo total do lançamento da flecha, basta substituir esse tempo t 1 nas nossas duas fórmulas de espaço...

Bora lá... Primeiro para x 1 ;

x 1 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) t 1

x 1 = ( 50 cos ⁡ 20 °   m / s ) ( 6,11   s )

x 1 ≅ 287,0   m

E depois para y 1 :

y 1 = 1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) t 1 - g 2 t 1 2

y 1 ≅ 1,75   m + ( 50 sen ⁡ 20 °   m / s ) ( 6,11   s ) - 9,81   m / s ² 2 ( 6,11   s ) 2

y 1 ≅ - 77,0   m

Feito isso! Como foi falado anteriormente... Uma vez que o lançamento foi feito em uma rampa triangular... Para descobrir a distância ∆ s percorrida pela flecha sobre a rampa, basta usar Pitágoras;

∆ s = x 1 2 + y 1 2

∆ s = ( 287,0   m ) 2 + ( - 77,0   m ) 2

∆ s ≅ 297,0   m

E voilà! Terminamos aqui!

Resposta

∆ s ≅ 297,0   m

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