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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios e Problemas - Ex. 83

83. Um skatista parte com rapidez de 7,0   m / s   de uma rampa de 1,0   m de altura e com 30 ° de inclinação. As rodas do skate rolam sem atrito algum. A que distância do final da rampa o skatista toca a mesma?

Passo 1

Tudo bem senhores!? Aqui vamos nós de novo pra mais uma questãozinha de Cinemática!

E pra resolver esse tipo de questão, já sabe né?

Primeiro bora fazer um esboço pra ajudar a entender melhor o nosso problema...

De modo que obtemos então, a seguinte imagem abaixo...

E pelo que sabemos dos problemas de movimento oblíquo e também do que lemos no enunciado, tiramos que...

s 0 = 0   m

v 0 = 7,0   m / s

θ = 30 °

s 1 = 1,0   m sen ⁡ 30 ° = 2,0   m

x 1 = 0   m

y 1 = 1,0   m

t 1 = 0

y 2 = 0

a 1 y = - g = - 9,8   m / s ²

Onde o objetivo aqui é encontrar a distância do final da rampa que o skatista toca, que pela figura, é o nosso x 2 !

Por isso, mãos à obra!

Passo 2

Bora pro que interessa! Chega de introdução!

Tomando ( 0 ) como o instante inicial do movimento do skatista, vamos se concentrar inicialmente desde o intante em que ele entra na rampa até o momento em que ele sai dela. Nesse tempo, conforme colocamos em nossa figura, ele vai percorrer uma distância igual à...

s 1 - s 0 = 1,0   m sen ⁡ θ

s 1 - s 0 = 1,0   m sen ⁡ 30 ° = 2,0   m

Só que ele não executa um movimento uniforme. O skatista entra na rampa com uma velocidade e sai dela com outra velocidade, que no caso é bem menor!

Isso acontece devido ao fato de que a gravidade apesar de estar na vertical, tem uma componente na direção s , onde está ocorrendo o movimento do skatisita na rampa. E essa componente vale...

a 0 = - g sen ⁡ θ

Com sentido negativo, porque tem sentido contrário ao da trajetória... Voltando ao que interessa;

a 0 = - g sen ⁡ θ

a 0 = - g sen ⁡ 30 °

a 0 = - ( 9,8   m / s ² ) sen ⁡ 30 °

a 0 = - 4,9   m / s ²

Bom! E como já temos a aceleração atuante, a velocidade inicial na entrada e o espaço percorrido pelo skatista; não vamos ser ingênuos, né!? Sem perder tempo, bora usar a famosa equação de Torricelli abaixo... Adaptando-a, é claro, às variáveis da nossa figura do P a s s o   1 ...

v 1 2 = v 0 2 + 2 a 0 ( s 1 - s 0 )

Substituindo os valores numéricos conhecidos;

v 1 2 = v 0 2 + 2 a 0 ( s 1 - s 0 )

v 1 = v 0 2 + 2 a 0 ( s 1 - s 0 )

v 1 = ( 7,0   m / s ) 2 + 2 ( - 4,9   m / s ² ) ( 2,0   m )

v 1 ≅ 5,4   m / s

Pronto! Essa é a velocidade com que o skatista sai da rampa!

Como ele sai da rampa com o mesmo ângulo que a rampa faz com a horizontal... Também não vamos perder tempo aqui, né parceiro(a)!?

Bora logo decompor essa velocidade rapaz...

Na direção horizontal:

v 1 x = v 1 cos ⁡ 30 °

v 1 x = ( 5,4 cos ⁡ 30 ° )   m / s

v 1 x = 4,7   m / s

E depois na vertical:

v 1 y = v 1 sen ⁡ 30 °

v 1 y = ( 5,4 sen ⁡ 30 ° )   m / s

v 1 y = 2,7   m / s

Passo 3

E como é de prache.. Pra facilitar a nossa resolução, bora dividir o movimento do skatista depois que sai da rampa, em duas partes; vertical e horizontal...

Na horizontal, em x , nosso skatista não tem aceleração influenciando seu movimento. Sendo assim, ele executa um movimento uniforme, com velocidade constante.

Olhando pra nossa figura do P a s s o   1 , ficamos então com...

x 2 = x 1 + v 1 x ( t 2 - t 1 )

E substituindo os valores numéricos de cada variável;

x 2 = 0   m + v 1 x ( t 2 - 0   s )

x 2 = ( 4,7   m / s ) t 2

Obtemos a equação que descreve o voo do skatista segundo a direção x ...

Passo 4

Indo agora pra direção vertical, temos nessa direção a presença da aceleração da gravidade para baixo influenciando a trajetória da flecha.

Desse modo, peguemos a equação abaixo da posição para o movimento uniformemente variado... É claro, usando as variáveis da nossa figura, né!?

y 2 = y 1 + v 1 y t 2 - t 1 + a 1 y 2 ( t 2 - t 1 ) 2

Esse a 1 y é a nossa aceleração da gravidade g , com sinal negativo porque aponta para baixo...

Ficamos então, com...

y 2 = y 1 + v 1 y t 2 - t 1 + a 1 y 2 ( t 2 - t 1 ) 2

Logo; substituindo os valores conhecidos...

y 2 = y 1 + v 1 y t 2 - t 1 - g 2 ( t 2 - t 1 ) 2

0   m = ( 1,0   m ) + 2,7   m / s t 2 - 9,8   m / s ² 2 t 2 2

4,9   m / s ² t 2 2 - 2,7   m / s t 2 - ( 1,0   m ) = 0

Obtemos a equação que descreve o movimento vertical!

E consequentemente, temos a seguinte equação para resolver...

4,9 t 2 2 - 2,7 t 2 - 1,0 = 0

Como é uma equação do 2 °   grau no formato a t 2 2 + b t 2 + c = 0 , basta usar a já conhecida fórmula abaixo...

t 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t 2 = - ( - 2,7 ) ± ( - 2,7 ) 2 - 4 ⋅ ( 4,9 ) ( - 1,0 ) 2 ⋅ 4,9

t 2 = 2,7 ± 26,89 9,8   s

t 2 = 0,2755 ± 0,5291   s

Onde ficamos então, com as seguintes raízes abaixo...

t 2 ≅ - 0,254   s

t 2 ≅ 0,805   s

E uma vez que só trabalhamos com tempo positivo, a única resposta possível para nossa equação é...

t 2 ≅ 0,805   s

Passo 5

Obtido o tempo total do movimento do skatista desde que ele sai rampa; para obter a distância total percorrida pelo mesmo, basta recorrer à fórmula do P a s s o   3 ...

x 2 = ( 4,7   m / s ) t 2

E substituindo o valor de t 2 :

x 2 = ( 4,7   m / s ) t 2

x 2 = ( 4,7   m / s ) ( 0,805   s )

x 2 ≅ 3,8   m

Finalmente obtemos a nossa resposta!

Terminamos aqui! Até a próxima!

Resposta

D i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   d e s d e   o   f i n a l   d a   r a m p a → ( x 2 - x 1 ) ≅ 3,8   m

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