Uma artista amiga sua precisa de ajuda para pendurar uma escultura de 500 lb no teto. Por razões artísticas, ela deseja usar apenas duas cordas. Uma delas deverá formar 30° com a vertical, e a outra, 60°. Ela precisa que você determine o mínimo diâmetro da corda que poderá sustentar com segurança esta valiosa peça de arte. Depois de visitar lojas de ferragens, você descobre que as cordas são fabricadas com incrementos de 1/8 de polegada no diâmetro e que a carga segura recomendada é de 4.000 libras por polegada quadrada de secção transversal. Qual é o diâmetro da corda que você deve comprar?

Passo 1

Fala aí! Visualiza que nosso problema se parece com isso aqui:

E a gente quer descobrir as tensões. Como são duas variáveis, vamos precisar de duas equações pra resolver… E a gente pode descobrir aplicando a segunda lei de newton separadamente nos componentes x e y. Olha:

F x = T 1 c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º ) - m g = 0

F x = T 1 c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º ) = m g

Agora pra y:

F y = T 1 s i n ( 30 º ) + T 2 s i n ( 60 º ) = 0

Assim, a gente pode relacionar as duas tensões

T 1 = T 2 s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º )

Agora a gente pode substituir em uma das equações.

m g = T 1 c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º )

m g = ( T 2 s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º ) ) c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º )

T 2 = 250 l b s

Agora, a gente pode descobrir T1 com a relação que a gente encontrou.

T 1 = T 2 s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º )

T 1 = 250   ⋅   s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º )

T 1 = 433 l b s

Pronto! Sabemos a tensão necessária pra cada uma das cordas. A gente precisa saber o diâmetro necessário correspondente.

Passo 2

O enunciado diz que o ideal é ser 4000 lbs por polegada quadrada, então a gente tem que verificar qual o diâmetro necessário pra atingir essa meta. Bora fazer a regra de três. Vamos considerar a tensão maior pra fazer as contas (melhor sobrar força do que faltar, certo?!)

A área da da secção transversal é dada por

A   =   1 4 π d 2

4000   = 433 ( 1 / 4 ) π d 2

E como queremos o diâmetro, vamos isolar o d.

d   =   4 ( 433 ) π ( 4000 ) = 0.371   i n c h

Isso significa que nossa corda tem que ter um diâmetro mínimo de 0.371 polegadas. Porém, o cara da loja só vende diâmetros múltiplos de ⅛. Precisamos saber o mínimo suficiente.

Passo 3

Pra saber o diâmetro mínimo suficiente disponível na loja, vamos fazer outra regra de 3.

0.371   = x 8

x = 2.968

Isso significa que o diâmetro mínimo disponível pra gente comprar é o de ⅜.

Resposta

⅜ polegadas.

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