Um asteroide, cuja massa é 2,0   .   10 - 4 vezes a massa da Terra, gira em uma órbita circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância da Terra ao Sol. (a) Calcule o período de revolução do asteroide em anos. (b) Qual é a razão entre a energia cinética do asteroide e a energia cinética da Terra?

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, aqui a gente precisa calcular o período de um asteroide com uma massa 2,0 × 10 - 4 vezes a massa da Terra. Quando ouvir falar em período de revolução, a gente já pode pensar logo na 3ª lei de Kepler:

T =   4 π r 3 G M

Para termos tudo o que essa fórmula exige, vamos consultar alguns dados.

O raio de órbita do asteroide é o dobra da distância da Terra ao sol:

r = 2 . d T - S = 2   .   150 × 10 9 = 300 × 10 9   m

Agora é só olhar a massa do sol é alguma tabela e substituir na fórmula:

T =   4 3,14 2 ( 300 × 10 9 ) 3 ( 6,67 × 10 - 11 ) ( 1,99 × 10 30 ) = 8,96 × 10 7   s

Passo 2

O enunciado pede a resposta em anos, então precisamos descobrir quantos segundos existem em um ano:

365 24 60 60 = 31536000   s  

Sendo assim:

T = 8,96 × 10 7 31536000

T = 2,8   anos  

Passo 3

(b) Agora queremos a razão entre as energias cinéticas. A fórmula já é nossa conhecida:

K = G M m 2 r

Obs.: Lembre-se de que M é a massa do corpo orbitado e m é a massa do corpo que orbita.

E a razão entre as energias cinéticas da Terra ( K T ) e do asteroide ( K A ) vai ser:

K A K T = G M S m 2 r a G M M T 2 R T = m M T . R T r a  

m é a massa do asteroide, M T é a massa da Terra, R T é a o raio de órbita da Terra e r a é o raio de órbita do asteroide.

O enunciado já nos diz que o r a = 2 R T , e que m = 2.10 - 4 M T , então:

K A K T = 2.10 - 4   .   1 2

K A K T = 10 - 4

Resposta

(a) T =   2,8   anos

(b) K A K T = 10 - 4

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