Enunciado

Um satélite de 20   k g está em uma órbita circular com um período de 2,4   h e um raio de 8,0   .   10 6   m em torno de um planeta de massa desconhecida. Se o módulo da aceleração gravitacional na superfície do planeta é 8,0   m / s 2 , qual é o raio do planeta?

Passo 1

Como queremos achar o raio do planeta, vamos ver o que já sabemos sobre ele. Se a aceleração da gravidade na superfície do planeta é a g , então:

a g = G . M R 2  

Onde R é o raio do planeta e M é a massa do planeta. Como já temos g , só falta acharmos o M pra resolver a questão. Vamos ver se podemos usar os outros dados para achar isso.

A questão deu o período T s e o raio orbital R s do satélite. Sabemos que essas duas grandezas se relacionam pela lei dos períodos de Kepler:

T s 2 = 4 . π 2 G . M . R s 3

Obs.: Cuidado, na lei dos períodos o M é a massa do corpo sendo orbitado, e não do corpo que orbita.

Pronto, sem nem precisar usar a massa do satélite, temos tudo pra resolver a questão.

Passo 2

Pra começar vamos usar a segunda equação para achar a massa do planeta. O raio R s é 8,0   .   10 6   m e o período orbital T s é:

T s = 2,4   h = 2,4   .   60 .   60 = 8640   s

Então:

T s 2 = 4 . π 2 G . M . R s 3

M = R S 3 T S 2   . 4 π 2 G

M = 8,0   .   10 6 3 8640 2   . 4   .   3,14 2 6,67   .   10 - 11 = 4,05   .   10 24   k g

Passo 3

Agora que temos a massa do planeta, vamos voltar à nossa primeira fórmula:

a g = G . M R 2  

O enunciado já deu a g = 8,0   m / s 2 , e agora sabemos que M =   4,05   .   10 24   k g .

Substituindo tudo:

a g = G . M R 2  

R = G . M a g = ( 6,67   .   10 - 11 ) . 4,05   .   10 24 8,0 = 5,8   .   10 6   m

Pronto!

Resposta

R =   5,81   .   10 6   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

12.33. A estrela Rho Cancri está a uma distância de 57 anos-luz da Terra e possui massa igual a 0,85 da massa do Sol. Verificou-se que existe um planeta descrevendo uma órbita circular em trono de Rho
12.36. Júpiter quente. Em 2004, astrônomos relataram a descoberta de um planeta tão grande quanto Júpiter orbitando muito perto da estrela HD 179949 (daí o termo “Júpiter quente”). A órbita é exatamen
O método mais eficiente para enviar uma espaçonave da Terra a outro planeta consiste em usar uma órbita de transferência de Hohmann (figura 12.38). Se a órbita da partida e a órbita do destino forem c
Um dos cometas mais brilhantes que apareceram no século XX foi o cometa Hyakutake, que passou nas proximidades do Sol em torno de 1996. Estimou-se em 30000 anos o período orbital deste cometa. Calcule
Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbia, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto