A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular: as distâncias de maior aproximação e maior afastamento são e , respectivamente. Determine as variações correspondentes (a) da energia total, (b) da energia potencial gravitacional, (c) da energia cinética e (d) da velocidade orbital. (Sugestão: use as leis de conservação da energia e do momento angular.)

Beleza, a letra (a) quer a variação da energia total entre um ponto e outro. Essa é tranquila, porque a lei da conservação de energia diz que a energia total se conserva em um sistema fechado.

Como podemos pensar na Terra como um sistema fechado, podemos dizer que a variação da energia total é nula.

A letra (b) quer a variação da energia potencial gravitacional. Vamos lembrar que:

Portanto:

E essa é a resposta da letra (b).

A letra (c) quer a variação da energia cinética. Calcular cada uma das energias daria muito trabalho, porque ainda não temos as velocidades, então vamos usar a lei da conservação de energia.

Reorganizando isso:

Mas acabamos de calcular , ou seja:

Pronto!

A letra (d) pede a variação da velocidade orbital.

Aqui vamos aproveitar a dica do enunciado, e usar a lei de conservação do momento angular. Uma forma simples de escrever essa lei nesse caso é:

Cortando a massa da Terra:

Agora vamos aproveitar a variação da energia cinética que calculamos logo acima:

Podemos aproveitar isso para achar o valor de :

Agora vamos voltar à relação inicial que achamos entre e :

Substituindo:

E a diferença vai ser:

Pronto!