Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 83

A capitão Janeway está em um ônibus espacial de massa m = 3000   k g que descreve uma órbita circular de raio r = 4,20.10 7   m em torno de um planeta de massa M = 9,50.10 25   k g . Quais são (a) o período da órbita e (b) a velocidade do ônibus espacial? Janeway aciona por alguns instantes um retrofoguete, reduzindo em 2,00 %   a velocidade do ônibus espacial. Nesse momento, quais são (c) a velocidade, (d) a energia cinética, (e) a energia potencial gravitacional e (f) a energia mecânica do ônibus espacial? (g) Qual é o semieixo maior da órbita elíptica agora seguida pelo ônibus espacial? (h) Qual é a diferença entre o período da órbita circular original e o da órbita elíptica? (i) Qual das duas órbitas tem o menor período?

Passo 1

Belezoca galera, a letra (a) quer saber o período da órbita do ônibus espacial, e para isso nos deu o raio da órbita, a massa do ônibus e a massa do planeta que está sendo orbitado.

Vamos começar usando a 3ª lei de Kepler para achar o período:

T 2 = 4 π 2 G M r 3

T = 4 π 2 G M r 3

T = 4 3,14 2 6,67 × 10 - 11 9,50 × 10 25 4,2 × 10 7 3

Logo:

T = 2,15 × 10 4   s

Beleza, essa é a resposta da letra (a).

Passo 2

Na letra (b) queremos achar a velocidade do ônibus espacial nas condições iniciais. Vamos usar a fórmula para a velocidade de uma órbita:

v = G M R

v = 6,67 × 10 - 11 9,5 × 10 25 4,2 × 10 7

v = 1,23 × 10 4   m/s

Ou em km/s :

v = 12,3   km/s

Passo 3

A partir daqui, a questão diz que a velocidade foi reduzida em 2%, porque a capitã da nave acionou um retrofoguete.

A letra (c) quer simplesmente a velocidade após essa redução. Já que acabamos de calcular a velocidade antes, é só fazer:

v ' = v - 2 % v

v ' = v - 0,02 v

Sendo assim:

v ' = 0,98 v

v ' = 1,20 × 10 4   m/s

E em km/s :

v ' = 12   km/s

Feito.

Passo 4

A letra (d) quer a energia cinética associada a essa nova velocidade. Logo:

K = 1 2 m v 2

K = 1 2 3000 1,20 × 10 4 2

K = 2,16 × 10 11   J

Ok, próximo.

Passo 5

A letra (e) quer a energia potencial gravitacional (logo após a redução) e a energia mecânica do ônibus espacial.

Começando pela energia potencial gravitacional:

U = - G M m r = - 6,67 × 10 - 11 9,5 × 10 25 3000 4,20 × 10 7

U = - 4,53 × 10 - 11   J

Passo 6

E a energia mecânica pedida na letra (f) vai ser só a soma das energias cinética e potencial gravitacional, que acabamos de calcular:

E = K + U

E = 2,16 × 10 11 - 4,53 × 10 - 11

E = - 2,35 × 10 - 11

Pronto!

Passo 7

A letra (g) quer o semieixo maior da nova órbita. Nós já conhecemos uma fórmula que relaciona o semieixo maior (ou o raio, no caso de uma órbita circular) com a energia mecânica!

E = - G M m 2 a

Reorganizando:

a = - G M m 2 E = - 6,67 × 10 - 11 9,5 × 10 25 3000 2 - 2,35 × 10 - 11 J

a = 4,04 × 10 7   m

Passo 8

A letra (h) quer a diferença entre o período da órbita circular T O C e da órbita elíptica T O E .

Já calculamos o período da órbita circular na letra (a): T O C = 2,15   . 10 4   s .

Resta apenas calcular a órbita T O E . Pela 3ª lei de Kepler:

T = 4 π 2 G M a 3

T 2 = 4 3,14 2 6,67 × 10 - 11 9,50 × 10 25 4,04 × 10 7 3

T ² = 2,03 × 10 4   s

E portanto a diferença entre as duas é:

Δ T = 2,15 - 2,03 × 10 4

∆ T = 0,12 × 10 4

∆ T = 1,20 × 1 0 3   s

Passo 9

Pra fechar, a letra (i) quer saber qual das duas órbitas tem o menor período. Isso é tranquilo, acabamos de calcular os dois nos itens (g) e (h).

A órbita circular tem período 2,15 × 1 0 4   s e a órbita elíptica tem período 2,03 × 10 4   s , logo a órbita elíptica tem o menor período.

Resposta

(a) T = 2,15 × 10 4   s

(b) v = 12,3   km/s

(c) v = 12,0   km/s

(d) K = 2,16 × 10 11   J

(e) U =   - 4,53 × 10 - 11  J

(f) E =   - 2,35 × 10 - 11   J

(g) a =     4,04 × 10 7   m

(h) Δ T = 1,20 × 10 3   s

(i) A órbita elíptica tem o menor período.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a)Quando um copo descreve uma órbita circular de raio r em torno da Terra (massa m T ), o período da órbita é igual a T (dado pela Equação (12.12)) e a velocidade orbital é igual a v 9dada pela Equaçã
Mercúrio descreve uma órbita claramente elíptica em torno do Sol. A velocidade de Mercúrio é de 38,8k m / s em seu ponto mais distante, a 6,99 × 10 10k m do Sol. Qual é a distância de Mercúrio ao Sol
Plutão se movimenta em uma órbita claramente elíptica em torno do Sol. A velocidade de Plutão em seu ponto mais próximo, 4,43 × 10 9k m do Sol, é de 6,12k m / s . Qual é a velocidade de Plutão no pont
Os cometas se movimentam em torno do Sol em órbitas muito elípticas. Em seu ponto mais próximo, em 1986, o Cometa Halley estava a 8,79 × 10 7 km do Sol, movendo-se com uma velocidade de 54,6 km/s. Qua
Um planeta está em órbita de uma estrela quando, sem nenhuma razão aparente, a gravidade da estrela desaparece repentinamente. Como ilustra a FIGURA P13.64, o planeta obedece à primeira lei de Newton