(a)Usando a expressão de E , E = k Q r 2   r > R e E = k Q r R 3   r < R , encontre a expressão para o potencial V em função de   r para a esfera interna e para a esfera externa uniformemente carregada. Considere V = 0 a uma distância infinita. (b) Faça um gráfico de V e de E em função da distância r   de   r = 0 até r = 3 R .

Passo 1

letra a)

Para acharmos o potencial a partir do campo elétrico, precisamos usar a expressão:

V a - V b = ∫ a b E _ ⋅ d r _

Nessa questão temos que V a = V ∞ = 0

Então temos:

- V = ∫ ∞ b E _ ⋅ d r _

Passo 2

Para r > R :

Nesse caso, queremos o potencial em um ponto fora.

- V = ∫ ∞ r k Q r ' 2   ⋅ d r '

V = k Q r

Passo 3

Para r < R :

Queremos o potencial entre as esferas.

- V = ∫ ∞ r E _ ⋅ d r _ = ∫ ∞ R E _ ⋅ d r _ + ∫ R r E _ ⋅ d r _

- V = ∫ ∞ R k Q r ' 2   ⋅ d r ' + ∫ R r k Q r R 3   ⋅ d r '

V = - - k Q r ∞ R - k Q r 2 2 R 3 R r

V = k Q R - k Q 2 R r 2 R 2 - 1

V = k Q 2 R 3 - r 2 R 2

Passo 4

letra b)

Para fazermos os gráficos do campo e do potencial.

Tanto o campo quanto o potencial crescem dentro da esfera ( r < R ) e decrescem do lado de fora ( r > R )

Resposta

letra a) r > R V = k Q r ; r < R V = k Q 2 R 3 - r 2 R 2

letra b)

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