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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas - Ex. 66

Um disco de raio R possui densidade superficial de carga igual a σ .

a)Imaginando o disco como um conjunto de anéis concêntricos, calcule o potencial elétrico sobre os pontos do eixo do anel a uma distância x do centro do disco. Considere o potencial igual a zero no infinito. (Sugestão: Use o resultado V = 1 4 π ϵ o Q x 2 + a 2 )

b)Calcule - ∂ V / ∂ x . Mostre que o resultado obtido concorda com o valor de E x , E x = σ 2 ϵ o 1 - 1 R 2 / x 2 + 1 .

Passo 1

letra a)

No enunciado ele nos dá que o potencial de um anel a uma distância x do disco é:

d V = 1 4 π ϵ o d Q x 2 + y 2

Reescrevendo a carga em termos da densidade superficial de cargas temos

d V = 1 4 π ϵ o σ d A x 2 + y 2

A diferencial de área do anel será d A = 2 π y d y

d V = 1 4 π ϵ o σ 2 π y d y x 2 + y 2

d V = σ 2 ϵ o y d y x 2 + y 2

Integrando dos dois lados temos

∫ d V = ∫ 0 R σ 2 ϵ o y d y x 2 + y 2

V = σ 2 ϵ o ∫ 0 R y d y x 2 + y 2

Passo 2

Para resolvermos a integral ∫ y d y x 2 + y 2 , podemos fazer uma substituição simples

Vamos chamar:

u 2 = x 2 + y 2

u ⋅ d u = y ⋅ d y

Então vamos ter

∫ y d y x 2 + y 2 → ∫ u d u u 2

∫ u d u u 2 = ∫ u d u u = ∫ d u = u

Como u = x 2 + y 2

∫ y d y x 2 + y 2 = x 2 + y 2

Passo 3

Como queremos calcular ∫ 0 R y d y x 2 + y 2 , precisamos agora substituir os limites de integração

∫ 0 R y d y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 0 R

∫ 0 R y d y x 2 + y 2 = x 2 + R 2 - x 2

∫ 0 R y d y x 2 + y 2 = x 2 + R 2 - x

Passo 4

Substituindo na nossa expressão do potencial:

V = σ 2 ϵ o x 2 + R 2 - x

Passo 5

letra b)

Agora ele nos pede para calcular E x = - ∂ V ∂ x e mostrar que o resultado será E x = σ 2 ϵ o 1 - 1 R 2 / x 2 + 1

Passo 6

Precisamos derivar o resultado do item (a) em relação a x:

E x = - ∂ V ∂ x = - ∂ ∂ x σ 2 ϵ o x 2 + R 2 - x

E x = - σ 2 ϵ o ∂ ∂ x x 2 + R 2 - x

Podemos usar a regra da soma da derivada:

E x = - σ 2 ϵ o ∂ ∂ x x 2 + R 2 + ∂ ∂ x - x

E x = - σ 2 ϵ o x x 2 + R 2 - 1

Tirando o x da raiz:

E x = σ 2 ϵ o 1 - x x 1 + R 2 / x 2

E x = σ 2 ϵ o 1 - 1 R 2 / x 2 + 1

Esse resultado bate com a expressão dada no enunciado.

Resposta

letra a) V = σ 2 ϵ o x 2 + R 2 - x

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