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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 68

Uma barra fina homogênea, de massa M e comprimento L , está sobre o eixo x positivo com uma de suas extremidades na origem. Considere um elemento da barra de comprimento d x e massa d m , no ponto x , onde 0 < x < L . (a) Mostre que este elemento produz um campo gravitacional no ponto x 0 , do eixo x , na região x 0 > L , dado por d g x = G M L x 0 - x 2 d x . (b) Integra este resultado sobre o comprimento da barra para determinar o campo gravitacional total da barra no ponto x 0 . (c) Determine a força gravitacional sobre uma partícula pontual de massa m 0 em x 0 . (d) Mostre que, para x 0 ≫ L , o campo da barra se aproxima de uma partícula pontual de massa M em x = 0 .

Passo 1

  1. O campo gravitacional gerado pela massinha d m é calculado por:

    2. d g → x = - G d m r 2 i ^

    Mas a massinha pode ser relacionada com d x pela densidade linear de massa.

    d m = M L d x

    E a distância r entre a massinha e o ponto P vai ser:

    r = x 0 - x

    Então, substituindo:

    d g → x = - G M L d x x 0 - x 2 i ^

    d g x → = - G M L x 0 - x 2 d x   i ^

    Passo 2

  2. Agora, integrando, vamos obter:

    3. g x → = - G M L ∫ 0 L d x x 0 - x 2 i ^

    g x → = - G M L 1 x 0 - x 0 L i ^

    g x → = - G M x 0 x 0 - L i ^

    Passo 3

  3. Como a força gravitacional é F = m g :

    4. F g → = - G M m x 0 x 0 - L i ^

    Passo 4

  4. Botando x 0 em evidência no denominador:

g x → = - G M x 0 2 1 - L x 0 i ^

Mas se x 0 for muito maior que L , L x 0 é praticamente igual a 0 , e então:

g x → = - G M x 0 2 i ^

Resposta

  1. d g x → = - G M L x 0 - x 2 d x   i ^
  2. g x → = - G M x 0 x 0 - L i ^
  3. F g → = - G M m x 0 x 0 - L i ^
  4. g x → = - G M x 0 2 i ^
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