Suponha que a Terra seja uma esfera homogênea não girante. Como prêmio por terem recebido a maior nota de laboratório, seu professor de física escolhe sua equipe de laboratório para participar de um experimento gravitacional em um uma profunda mina no equador. Esta mina possui um elevador que entra dentro da Terra. Antes de fazer a medida, você é solicitado a prever o decréscimo no peso, ao chegar no fundo do poço do elevador, de um membro da equipe que pesa na superfície da Terra. A massa específica da crosta terrestre aumenta com a profundidade. Sua resposta é maior ou menor do que o resultado experimental?

Repara que a gente tem o peso do homem na superfície da Terra, aí podemos escrever que

Esse é o nosso único dado além da produndidade em que o homem está, então vamos tentar achar em função de . Para isso, vamos escrever a expressão de e .

Temos que é o campo na superfície, então a distância do ponto em que o homem está e o centro da Terra é o próprio raio da Terra , assim a massa é a própria massa da Terra também

Já para o momento que ele está numa profunidade , a distância até o centro da Terra é , e assim, temos uma nova massa, a massa da esfera de raio :

Mas lembra que a Terra é uma esfera homogênea, o que quer dizer que a massa específica dela é constante. Ela vai ser a mesma tanto para a esfera de raio quanto para a esfera de raio . Então a gente pode escrever e em função de .

Temos que

Onde é o volume de uma esfera. Para a esfera de raio

E para a esfera de raio :

Substituindo isso nas expressões para o campo gravitacional de cada situação

Mas lembra que a gente quer colocar em função de , então a gente vai colocar em função de . Uma forma de fazer isso é dividir a expressão de por , já que queremos relacionar essas duas grandezas:

Então, podemos relacionar a gravidade nos dois pontos pela expressão abaixo, sendo a aceleração num ponto interno e a aceleração na superfície:

Mas então, o peso em cada situação é:

Substituindo nossa expressão de

Então, a diferença entre os pesos é:

Vimos que o peso do homem é , e a profundidade em que ele está é , e podemos ver pelo Apêndice B que o raio da Terra é .

Substituindo valores, vamos encontrar:

Por fim, ele pede para dizer se esse valor

é maior ou menor que o resultado experimental, considerando que na nossa conta a Terra é uma esfera homegenea com constante e que na “vida real”, a Terra é uma esfera com que cresce conforme a profundidade aumenta.

Pensa assim: o peso na superfície é o mesmo para o caso teórico (que a gente calculou) e o experimental. E a massa do homem também. Então considerando a fórmulinha do peso

O que muda entre esses casos é a gravidade. Vimos que a gravidade depende da quantidade de massa entre o ponto onde o homem está e o centro da Terra. Quanto mais perto do centro, menor era a gravidade, certo?

Só que, se aumenta conforme essa distância do centro da Terra diminui, quer dizer que temos mais quantidade de massa entre o ponto de profundidade e o centro da Terra no caso experimental, do que a gente teria considerando a Terra homogênea do caso teórico.

Então para o caso experimental é maior do que para o caso teórico. Olha a expressão da diferença de peso de novo

Se é maior para o caso experimental, significa que essa diferença entre os pesos do homem será menor para esse caso, em relação ao do caso teórico que avaliamos.