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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 23.Problemas Desafiadores - Ex. 88

Em uma dada região, existe uma distribuição esfericamente simétrica, porém não uniforme. Ou seja, a densidade volumétrica de cargas ρ ( r ) depende da distância r , mas não depende dos ângulos das coordenadas esféricas θ e ϕ . O potencial elétrico V ( r ) dessa distribuição é dado por:

V ( r ) = { ρ 0 a 2 18 ϵ 0 1 - 3 r a 2 + 2 r a 3 para r ≤ a

0 para r ≥ a

em que ρ 0 é uma constante com unidades de C / m 3 e a é uma constante com unidade de metro. (a) Deduza uma expressão para E para as regiões r ≤ a e r ≥ a (Sugestão: Use a Equação (23.23)). Explique porque E possui apenas uma componente radial. (b) Deduza uma expressão para ρ ( r ) nas duas regiões r ≤ a e r ≥ a . (Sugestão: Use a lei de Gauss para duas superfícies esféricas, uma de raio r e outra de raio r + d r . A carga contida na casca esférica de espessura d r é d q = 4 π r 2 ρ ( r ) d r ). (c) Mostre que a carga total contida no interior de uma esfera de raio superior é igual a zero ou igual a a . (Sugestão: Integre a expressão deduzida na parte (b) para ρ ( r ) sobre um volume esférico de raio superior ou igual a a ). O resultado obtido é consistente com o campo elétrico para r ≥ a que você calculou no item (a)?

Passo 1

letra a)

O campo elétrico pode ser obtido a partir da relação:

E _ = - ∂ V ∂ r   r ^

Passo 2

Para r ≤ a :

E _ = - ∂ ∂ r ρ 0 a 2 18 ϵ 0 1 - 3 r a 2 + 2 r a 3   r ^

E _ = - ρ 0 a 2 18 ϵ 0 ∂ ∂ r 1 - ∂ ∂ r 3 r a 2 + ∂ ∂ r 2 r a 3   r ^

E _ = - ρ 0 a 2 18 ϵ 0 0 - 6 r a 2 + 6 r 2 a 3   r ^

E _ = ρ 0 3 ϵ 0 r - r 2 a   r ^

Passo 3

Para r ≥ a :

E _ = - ∂ ∂ r 0   r ^

E _ = 0

Passo 4

Como o potencial só depende de r , o campo elétrico só terá direção radial.

Passo 5

letra b)

Para r ≤ a a lei de Gauss nos dá:

E r A = Q r ϵ 0

E r 4 π r 2 = Q r ϵ 0

ρ 0 3 ϵ 0 r - r 2 a 4 π r 2 = Q r ϵ 0

Passo 6

Para r + d r ≤ a a lei de Gauss nos dá:

E r + d r   A = Q r + d r ϵ 0

E r + d r ⋅ 4 π r 2 + 2 r d r = Q r + d r ϵ 0

ρ 0 3 ϵ 0 r + d r - r 2 + 2 r d r a ⋅ 4 π r 2 + 2 r d r = Q r + d r ϵ 0

Passo 7

Diminuindo um do outro teremos:

Q r + d r ϵ 0 - Q r ϵ 0 = ρ 0 3 ϵ 0 r + d r - r 2 + 2 r d r a ⋅ 4 π r 2 + 2 r d r - ρ 0 3 ϵ 0 r - r 2 a 4 π r 2

Q r + d r ϵ 0 - Q r ϵ 0 = ρ 0 a ⋅ 4 π r 2 d r 3 ϵ 0 - 2 r a 2 + 2 a - 2 r a 2 1 a

Q r + d r ϵ 0 - Q r ϵ 0 = ρ 0 ⋅ 4 π r 2 d r 3 ϵ 0 3 - 4 r a

Podemos então escrever ρ ( r ) como sendo:

Q r + d r ϵ 0 - Q r ϵ 0 = ρ ( r ) ⋅ 4 π r 2 d r ϵ 0

ρ ( r ) = ρ 0 3 3 - 4 r a

Passo 8

letra c)

A carga total obtida no interior de uma esfera é por:

Q = ∫ 0 a ρ ( r )   d A

Q = 4 π ∫ 0 a ρ ( r ) r 2 d r

Substituindo a relação que achamos no item anterior:

Q = 4 π ∫ 0 a ρ 0 3 3 - 4 r a r 2 d r

Q = 4 π ρ 0 3 ∫ 0 a 3 r 2 - 4 r 3 a d r

Q = 4 π ρ 0 3 r 3 - r 4 a 0 a

Q = 4 π ρ 0 3 a 3 - a 4 a

Q = 0

Passo 9

Do item (a) para r ≥ a , temos que E = 0 . Usando a lei de Gauss temos então que a carga envolvida será Q = 0 .

Resposta

letra a) r ≤ a E _ = ρ 0 3 ϵ 0 r - r 2 a   r ^ , r ≥ a E _ = 0 . O potencial só depende de r .

letra b) ρ ( r ) = ρ 0 3 3 - 4 r a

letra c) É consistente.

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