Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 77
Uma barra metálica com 30,0 cm de comprimento se expande de 0,0650 cm quando sua temperatura aumenta de 0,0 °C até 100,0 °C. Uma barra de outro metal com o mesmo comprimento dilata-se 0,0350 cm com a mesma variação de temperatura. Uma terceira barra, também com 30,0 cm de comprimento, feita pela junção de dois pedaços dos materiais mencionados, conectados pelas suas extremidades, dilata-se de 0,0580 cm entre 0,0 °C e 100,0 °C. Calcule o comprimento de cada pedaço da barra composta.
Passo 1
Fala galera, bora lá!
Para resolvermos esse exercício, temos que relembrar a relação que descreve o fenômeno de dilatação térmica em decorrência de um aumento na temperatura. Bem, é um resultado experimental que, ao aquecermos um material, ele sofrerá dilatação em todas as direções. O quanto esse material dilatar em uma direção específica (como a direção radial em um objeto esférico ou na direção do comprimento de uma barra, por exemplo), tal dilatação é dita ser linear. Matematicamente, a variação de comprimento na direção analisada é diretamente proporcional ao comprimento inicial e à própria variação de temperatura . A constante de proporcionalidade entre as grandezas em questão é o coeficiente de dilatação, que varia de material para material:
Passo 2
Primeiramente, consideremos o material A fornecido pelo enunciado, que dilata 0,0650cm quando submetido a um aumento na temperatura de . Seu comprimento inicial é 30 cm. Portanto, podemos calcular seu coeficiente de dilatação linear usando a relação acima:
Passo 3
Agora, vamos estudar o coeficiente de dilatação linear do material B, que dilata 0,0350 cm quando submetido ao mesmo aumento de na temperatura, com o mesmo comprimento inicial da barra de material A:
Passo 4
Com esses novos dados em mente, vamos atacar o problema da barra composta pelos materiais A e B. Sejam e os comprimentos dos pedaços feitos dos materiais A e B, respectivamente, da barra composta. Como seu comprimento é 30 cm, temos que vale a seguinte relação:
Passo 5
Acima, o primeiro termo da soma é a variação sofrida pela parte formada pelo material A e B a variação pela parte composta pelo material B. Expandindo tais variações:
Passo 6
Temos em mãos, portanto, um sistema de duas equações envolvendo os comprimentos iniciais das diferentes partes da barra composta, de sorte que o resolvendo, obtemos o resultado desejado:
Resolvendo o sistema
Resposta
Portanto, os comprimentos iniciais das partes feitas pelos materiais A e B da barra composta são, respectivamente, e .