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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 25

Uma bicicleta de 14   k g tem rodas de 1,2   m de diâmetro, cada uma com uma massa de 3,0   k g . A massa do ciclista é 38   k g . Estime a fração da energia total do sistema ciclista-bicicleta que está associada à rotação das rodas.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O ciclista e a bicicleta se movem com uma rapidez v , e por isso eles têm energia cinética de translação. Aquela dada pela fórmulinha:

K = m v 2 2

E as rodas se movem com uma rapidez angular ω . A rapidez angular das rodas e da bicicleta se relacionam assim

v = r ω

Como uma roda tem rapidez angular, a energia cinética dela é a energia de rotação, dada por

k r o t = 1 2 I r o d a ω 2

Aí o que ele quer saber é que fração a energia cinética de rotação das rodas representa em relação a energia cinética total do sistema (ciclista+bicicleta+rodas). Bora calcular isso então!

Passo 2

A fração que ele quer é:

K r o t K t o t

Sendo que a energia cinética total é dividida entre energia cinética de translação (do ciclista e da bicicleta) e a energia cinética de rotação (a das rodas). Então a gente pode escrever:

K r o t K t o t = K r o t K r o t + K t r a n s

Para o movimento de translação temos:

K t r a n s = K b i c i c l e t a + K c i c l i s t a

Substituindo a expressão desse tipo de energia cinética para o ciclista de massa m e bicicleta de massa M :

K t r a n s = 1 2 m v 2 + 1 2 M v 2

Percebe que a rapidez v deles é a mesma, já que eles se movem juntos.

Passo 3

A energia cinética de rotação de uma roda é dada por

K r o t u m a   r o d a = 1 2 I r o d a ω 2

Mas lembra que a gente tem 2 rodas, a energia de rotação no nosso sistema é o dobro disso:

K r o t = 2 1 2 I r o d a ω 2

E a gente pode reescrever essa rapidez angular assim:

v = r ω → ω = v r

Substituindo a nossa expressão:

K r o t = 2 1 2 I r o d a v r 2

K r o t = I r o d a v r 2

E I r o d a é o momento de inércia de uma roda em relação ao eixo de rotação. Que gente pode dizer que é o momento de inércia de um cilindro em relação ao eixo que passa pelo centro da sua base. Ele vai ter essa fórmula

I r o d a = m r o d a r 2

Substituindo isso na nossa expressão:

K r o t = I r o d a v r 2

K r o t = m r o d a r 2 v 2 r 2

K r o t = m r o d a v 2

Passo 4

Substituindo essas expressões que a gente achou na nossa fração:

K r o t K t o t = K r o t K r o t + K t r a n s

K r o t K t o t = m r o d a v 2 m r o d a v 2 + 1 2 m v 2 + 1 2 M v 2

Multiplicando em cima e embaixo por 2 e por 1 / m r o d a :

K r o t K t o t = 2 2 + m + M m r o d a

Substituindo os valores das massas de cada elemento dadas no enunciado, temos:

K r o t K t o t = 2 2 + 14 + 38 3

K r o t K t o t = 10 %

Resposta

K r o t K t o t = 10 %

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