Um bloco de massa m escorrega sobre um piso sem atrito e depois sobre uma rampa sem atrito(Figura 4-48). O ângulo da rampa é θ e a rapidez do bloco antes de começar a subir a rampa é v 0 . O bloco escorregará até uma altura máxima h acima do piso, antes de parar. Mostre que h é independente de m e θ , deduzindo uma expressão para h em termos de v 0 e   g .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Ele quer que a gente ache h , que é altura máxima que esse bloco atinge quando chega na rampa, em função da sua velocidade inicial ao chegar na rampa v 0 e g , a aceleração da gravidade.

O primeiro a se fazer, é desenhar o diagrama de corpo livre para entender melhor a situação do bloco quando ele passa pela rampa:

Como o bloco tem massa m , ele vai estar sob ação da gravidade, ou seja, há a força peso F g puxando o bloco para baixo.

E como há contato entre o bloco e a superfície, a gente precisa considerar a força normal F n que a superfície aplica perpendicularmente ao bloco. Ele fala para desconsiderarmos o atrito, então com esse diagrama a gente já representou todas as nossas forças.

Escolhemos colocar um dos eixos coincidindo com o movimento do bloco, tá?

Então, a partir desse diagrama, a gente vai tentar achar h . Vamos ver como fazer isso!

Passo 2

Temos v 0 , a velocidade do bloco antes de entrar na rampa. E temos que quando ele está na altura máxima, sua velocidade é nula v f = 0 .

E se a gente for fazer um esqueminha do movimento, teríamos algo assim:

Podemos relacionar trigonometricamente o deslocamento Δ x com a altura atingida. Temos que:

h Δ x = sin ⁡ θ

h sin ⁡ θ = Δ x

Temos que o bloco vai desacelerar ao passar pela rampa por causa das forças constantes atuando. Então há uma aceleração constante na direção do movimento. Assim a gente pode usar a equação que relaciona deslocamento com velocidade inicial e final para esse tipo de caso:

v x 2 = v 0 x 2 + 2 a x ∆ x

Como a velocidade no ponto mais alto é nula, temos que:

∆ x = - v 0 x 2 2 a x

Substituindo nossa expressão para Δ x e isolando quem a gente quer, o h :

h sin ⁡ θ = - v 0 x 2 2 a x

h = - v 0 x 2 2 a x sin ⁡ θ

Passo 3

Mas percebe que v 0 x é simplemente v 0 , que é a velocidade inicial do bloco:

h = - v 0 2 2 a x sin ⁡ θ

A gente só não sabe quem é a x , a aceleração na direção x .

Vamos aplicar a segunda lei de Newton nessa direção para encontrar a aceleração.

Sabemos que:

∑ F x = m a x

A única componente de força que a gente tem em x que é não nula é F g x , já que F n está na direção de y . Sendo que F g x = - F g sin ⁡ θ porque F g aponta para o sentido negativo de x e seu ângulo θ é oposto a x . Substituindo essa força no somatório de componentes em x

∑ F x = - F g sin ⁡ θ = m a x

Isolando quem a gente quer:

a x = - g sin ⁡ θ

Passo 4

Agora a gente tem uma expressão para aceleração. Vamos substituir essa bonita na expressão de h :

h = - v 0 2 2 a x sin ⁡ θ

h = - v 0 2 2 ( - g sin ⁡ θ ) sin ⁡ θ

Simplificando:

h = v 0 2 2 g

Prontinho! Provamos que h não depende de m e nem de θ como ele pediu. Só de v 0 e g .

Resposta

h = v 0 2 2 g

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