Uma bola de boliche, de massa e raio , é lançada de forma que, ao atingir o piso, está se movendo horizontalmente com um rapidez , sem girar. Ela desliza uma distância durante um tempo antes de começar a rolar sem deslizar. (a) Se é o coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso, determine , e a rapidez final da bola. (b) Determine a razão entre a energia cinética final e a energia cinética inicial da bola. (c) Determine , e para e .

Vamos começar por .

No eixo , pela segunda lei de Newton:

Sendo que é a força de atrito cinético entre o piso e a bola:

Só que a gente não sabe quem é . Vamos achar ela pela 2ª lei de Newton na direção :

Como não tem movimento nessa direção, :

Daí substituindo na equação do eixo :

Ela é negativa porque vai desacelerar a bola.

Agora vamos achar para quando a bola começa a girar. Como a aceleração do centro de massa que a gente achou é para o momento com deslizamento, não podemos dizer que .

E como a gente faz então? Cara, a gente pode usar a segunda lei de Newton para a rotação, já que agora estamos com a bola girando.

Ela tem essa cara:

A única força que não passa pelo centro da bola é . Então ela é a única que vai gerar torque. E como e são perpendiculares, o torque é dado por :

Vimos que e é o momento de inércia de uma esfera em relação a um eixo passa pelo seu centro e vale . Substituindo essas duas coisas:

Isolando quem a gente quer

Agora a gente pode achar o que ele pede. Como? Bem, é a velocidade da bola quando ela começa a rolar sem deslizar, certo? Então ela pode ser escrita como:

Então a gente precisa da rapidez angular da bola. Como a gente tem , e sabe que a rapidez angular inicial é nula no momento inicial (não temos rolamento em ). Podemos usar essa equaçãozinha para achar :

Já que ,

Mas a gente também pode escrever usando as equações da cinemática linear já que temos . Temos:

Subsituindo a nossa expressão de :

Igualando essas duas expressões para :

Isolando

Esse é o tempo do período com deslizamento!

Temos a expressão da velocidade final:

Substituindo a expressão que a gente achou de :

E a distância percorrida pode ser achada por essa equação para aceleração constante:

Substituindo nossas expressões para e :

Nossa, que trabalheira! Mas calma que não acabou ainda...

b) O momento final é quando a bola começa a rodar sem deslizar. Então nesse instante a bola tem energia cinética dividida em translacional (do movimento linear) e rotacional (porque gira):

Substituindo as expressões de cada uma:

Onde é a rapidez do centro de massa da bola (que é uma esfera), com que ela se move pelo piso.

E lembra que é o momento de inércia da esfera (a bola) em relação ao seu centro (eixo de rotação) e vale . E como não há deslizamento, a gente pode escrever a rapidez angular usando essa expressão:

Substituindo as nossas expressões de e em :

A energia inicial é quando ela começa a deslizar com velocidade inicial . A energia cinética nessa situação é só a de translação:

Aí a razão entre a energia final e inicial é:

c) Substituindo os valores do enunciado nas expressões encontradas na letra (a):