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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 2.1 - Ex. 69

Uma bola é lançada verticalmente para cima do nível do chão, com uma rapidez inicial de 20 m/s. (A resistência do ar é desprezível.) (a) Quanto tempo a bola fica no ar? (b) Qual a altura máxima atingida pela bola? (c) Quantos segundos, após o lançamento, a bola estará 15 m acima do ponto de largada?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Temos uma bola lançada para cima, com rapidez inicial de v 0 = 20   m / s . Ele quer saber quanto tempo a bola fica no ar. Ou seja, quanto tempo leva para ela sair do chão, subir, e depois descer e voltar para o chão.

Temos um objeto caindo, então ele está sobre efeito de uma aceleração constante, a gravidade. Então podemos usar a expressão que relaciona a variação de posição ∆ y de um objeto, que está com aceleração constante a , com o tempo decorrido t :

∆ y = v 0 t + 1 2 a t 2  

Como o objeto vai subir e descer, as posições iniciais e finais são iguais, logo a variação de posição é nula ∆ y = 0 . Vamos considerar que y é positivo para cima, assim a nossa aceleração é a = - g , já que a aceleração da gravidade aponta para baixo.

Substituindo esses valores, temos:

0 = v 0 t - 1 2 g t 2  

Mas a gente quer o tempo percorrido, então isolamos t

t = 2 v 0 g

Como ele diz que v 0 = 20   m / s e podemos considerar que a aceleração da gravidade é g = 9,81   m / s 2 , ficamos com

t = 2 ⋅ 20 9,81

t = 4,1   s

Passo 2

b) Para encontrar a altura máxima podemos usar a equação de Torricelli, que é essa equação que relaciona a variação de posição com a velocidade final v e inicial v o :

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ y

Ele quer a altura máxima, então nossa variação de posição precisa ser a altura máxima

Δ t = H m á x

Vimos que a = - g e temos v 0 . Agora pensa comigo. Quando você joga a bola para cima, o que acontece quando ela chega na altura máxima? Ela para de subir, né? Então, a gente pode considerar que na altura máxima, rapidez é nula v = 0 . Nossa expressão fica

0 = v 0 2 - 2 g H m á x

Isolando quem a gente quer e substituindo nossos dados

H m á x = v 0 2 2 g

H m á x = 20 2 2 ⋅ 9,81

H m á x = 20   m

Passo 3

c) Para descobrir o tempo para atingir 15 metros, podemos usar a mesma equação do Passo 1:

∆ y = v 0 t + 1 2 a t 2  

Ele quer o valor de t , para que o deslocamento em relação ao solo seja de Δ y = 15   m . Subsituindo isso e nossos outros dados a = - g = - 9,81   m / s 2 e v 0 = 20   m / s

15 = 20 t - 1 2 9,81 ⋅ t 2  

Resolvendo esta equação podemos encontrar os valores:

t = 0,99   s e t = 3,1   s

Nos dois momentos, o objeto estará a 15 metros de altura, porém o primeiro indica a ida e o segundo a volta.

Resposta

a ) t = 4,1   s

b ) H m á x = 20   m

c ) t = 0,99   s e t = 3,1   s

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