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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 1

Uma bússola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magnético da Terra. Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magnético m →   e momento de inércia l , suspensa de forma a poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situada num campo magnético horizontal uniforme B 0 → . As direções m → e B 0 → formam inicialmente um pequeno ângulo θ 0 . Calcule a frequência angular de oscilação (desprezando o amortecimento) e mostre que sua determinação permite medir m →     .   B 0 → .

Passo 1

Vamos começar considerando que o torque pode ser escrito como

τ → = m → × B → .

Outra saída legal aqui é que se quisermos o módulo do torque, teremos

τ = m B   s e n θ .

Como ele disse que o ângulo entre o momento de dipolo magnético e o campo magnético é θ 0 e que é pequeno, podemos usar a aproximação

s e n θ 0 ≈ θ 0 .

Sendo assim

τ = m B θ 0 .

Pela lei de Hooke

τ = k   θ 0

Passo 2

Lembra que para o oscilador harmônico tínhamos

d 2 θ d t 2 + ω 2 θ = 0

Pela segunda lei de Newton para rotações, temos

I d 2 θ d t 2 = τ = - m B θ

Reescrevendo temos

d 2 θ d t 2 + m B l θ = 0

Isso implica que

ω =   m B l

Resposta

ω =   m B l

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