A agulha imantada do problema 1 também produz um campo magnético, que, conforme será visto no capítulo 8, só difere de um dipolo elétrico p → pelas substituições p → ⟶ m → , ϵ 0 → 1 / μ 0 , onde μ 0 é uma constante (permeabilidade magnética do vácuo).

  1. Usando esse resultado, determine o campo magnético B → (em módulo, direção e sentido) produzido pela agulha num ponto P situado em seu prolongamento, a uma distância d da agulha.
  2. Suponha que, com a agulha imobilizada na direção horizontal, perpendicular ao campo magnético B 0 → da Terra, outra agulha imantada é trazida para o ponto P definido na parte (a), ficando sujeita aos campos B →   e B 0 → . Determine o ângulo α entre a orientação de equilíbrio da segunda agulha e B 0 → . Mostre que, medindo-o, pode-se determinar a razão m → / B 0 → . Combinando o resultado com o do problema 1, obtém-se os valores de m → e de B 0 → . Esse método é devido a Gauss.

Passo 1

Para verificar o item (a), precisamos lembrar que o campo elétrico do dipolo elétrico é

E → = p → 2   π ϵ 0 d 3

Como o enunciado diz que p → ⟶ m → e ϵ 0 → 1 / μ 0 , podemos fazer as devidas substituições e achar o campo magnético.

B → = μ 0 m → 2   π d 3     .

Passo 2

Para melhorar nossa compreensão do item (b), podemos ver a figura a seguir.

Se liga! Vamos considerar que está em equilíbrio. Então a soma dos torques na agulha 2 tem que ser zero. Sendo os torques provocado pelo campo B 0 e pela agulha 1.

∑ τ → = τ 1 → + τ → B 0

Portanto temos que eles produzem torques em sentidos contrários e que os seus módulos são iguais. τ 1 = τ B 0

m B 1 s e n 90 - α = m B 0 s e n α

B 1 s e n 90 - α = B 0 s e n α

Passo 3

Como foi calculado no item (a)

B 1 = μ 0 m 2   π z 3  

Logo

μ 0 m 2   π d 3   s e n 90 - α = B 0 s e n α

Agora é só lembrar que

s e n 90 - α = c o s α

Portanto

μ 0 m 2   π d 3   c o s α = B 0 s e n α

Assim achamos que

t g   α =   μ 0 m 2   π z 3 B 0

Resposta

a )         B =   μ 0 m 2   π z 3

b )         t g   α =   μ 0 m 2   π z 3 B 0

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