Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 89
Uma caixa de massa , sobre o chão, está conecetada a uma mola horizontal de constante de força (veja a figura). O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o chão é . A outra ponta da mola está presa a uma parede. A mola está inicialmente frouxa. Se a caixa é afastada da parede por uma distância e largada, ela desliza de volta. Suponha que a caixa não desliza tanto ao ponto de as espiras da mola se tocarem. (a) Obtenha uma expressão para a distância que a caixa desliza antes de parar pela primeira vez. (b) Supondo que , obtenha uma expressão para a rapidez da caixa após ter percorrido uma distância depois de largada. (c) Obtenha o valor particular de para o qual .
Passo 1
Vamos aplicar a lei de conservação de energia entre o ponto de onde a caixa é solta e o ponto em que ela para pela primeira vez.
Como em ambos os pontos a caixa está parada, não teremos variação de energia cinética:
Tudo o que acontece entre esses dois pontos, é que a energia potencial que a mola armazenava inicialmente terá dois fins: uma parte vai de dissipar pelo atrito, e a outra vai continuar armazenada na mola.
Passo 2
Inicialmente, a energia armazenada na mola era a seguinte:
E depois que a caixa é solta, ela percorre uma distância a partir do ponto até parar. Então a distância desse ponto de parada em relação ao ponto de equilíbrio é:
De forma que a energia final armazenada na mola é:
E a energia dissipada pela força de atrito quando a caixa percorre essa distância é:
Como estamos em um plano horizontal, a expressão da força de atrito fica bastante simples:
Substituindo tudo isso na expressão anterior:
Passo 3
(a) Vamos resolver essa última equação para encontrar :
Multiplicando tudo por :
Agora vamos cortar o e colocar em evidência:
E só existem duas soluções para essa equação. A primeira é , que não faz sentido para nós nesse caso, e a outra é:
Passo 4
(b) Agora queremos descobrir a rapidez do bloco quando ele percorreu uma distância após ser solto. Como , nós sabemos que o bloco ainda não estará totalmente parado nesse ponto, então ainda haverá alguma energia cinética.
Vamos olhar para nossa fórmula de antes:
Que modificações temos que fazer? Primeiro, adicionar um termo para a energia cinética do lado direito da equação:
E como a mola havia sito distorcida em , depois de andar uma distância ela estará totalmente frouxa novamente:
E agora é só isolar a rapidez :
Passo 5
(c) Vamos retornar à expressão que encontramos no final do item (a):
Podemos aproveitar essa expressão para encontrar no caso em que :
Resposta
(a) .
(b) .
(c) .