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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 95

Calculamos, no texto, o alcance de um projétil que cai no mesmo nível de onde foi lançado e encontramos R = v 0 2 g sin ⁡ 2 θ se a resistência do ar for ignorada. (a) Mostre que, sob as mesmas condições e com o mesmo ângulo de lançamento e a mesma aceleração da gravidade, a variação do alcance, para uma pequena variação da rapidez de lançamento, é dada por ∆ R R = 2 ∆ v 0 v 0 . (b) Suponha que o alcance de um projétil foi de 200 m. Use a fórmula da Parte (a) para estimular o aumento do alcance se a rapidez de lançamento é aumentada em 20,0 por cento. (c) Compare sua resposta em (b) com o valor do aumento do alcance calculado diretamente de R = v 0 2 g s i n 2 θ . Se os resultados das Partes (b) e (c) são diferentes, a estimativa foi muito pequena ou muito grande? E por que?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nós podemos postrar que ∆ R R = - ∆ g g , a partir da derivada:

d R d v 0 = d d v 0 v 0 2 g s i n 2 θ

d R d g = 2 v 0 g sin ⁡ 2 θ

d R d v 0 = 2 R v 0

Aproximando, temos que:

∆ R ∆ v 0 = 2 R v 0

∆ R R = 2 ∆ v 0 v 0

Passo 2

O item b nos pede o alcance horizontal nas condições descritas:

∆ R = 2 ∆ v 0 ⋅ R v 0

∆ R = 2 0,20 v 0 ⋅ 200 v 0

∆ R = 80   m

Passo 3

Sabemos que:

∆ R = R ' - R

R = v 0 2 g s i n 2 θ

R ' = v 0 + 0,20 v 0 2 g s i n 2 θ

R ' = 1 , 20 v 0 2 g s i n 2 θ

Temos que:

∆ R = 1,20 v 0 2 g s i n 2 θ - v 0 2 g s i n 2 θ

∆ R = 0,44 v 0 2 g s i n 2 θ  

∆ R = 0,44 R

Substituindo os valores, tempos:

∆ R = 0,44 ⋅ 200

∆ R = 88   m

A aproximação é pequena. A estimativa ignora termos de alta ordem e eles são importantes quando as diferenças não são pequenas.

Resposta

b ) ∆ R = 80   m

c ) ∆ R = 88   m

A aproximação é pequena. A estimativa ignora termos de alta ordem e eles são importantes quando as diferenças não são pequenas.

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