Enunciado

Uma mangueira de água é usada para encher um grande tanque cilíndrico com diâmetro D e altura 2 D . O jato de água sai da mangueira a 45 ° acima da horizontal, a partir do mesmo nível da base do tanque, e está a uma distância 6 D (Figura 3.47 ). Para qual alcance de velocidade de lançamento ( v 0 ) a água entrará no tanque? Despreze a resistência do ar e expresse sua resposta em termos de D e g .

Passo 1

Show de bolinhas pessoal? Vamos analisar a situação!

Como a mangueira joga água a partir do chão com uma velocidade inicial v 0 que faz um ângulo α com a horizontal, a água descreve um lançamento obliquo, olha só:

Então as equações do movimento em cada eixo, serão:

x = v 0 cos ⁡ α t y = v o sen ⁡ α t - g t 2 2

A água entra no tanque com passando pelo primeiro ponto sinalizado na figura! Repara que nesse ponto, temos as coordenadas:

x = 6 D ,     y = 2 D

Além disso, o problema nos informa que α = 45 ° , logo:

6 D = v 0 cos ⁡ 45 ° t 2 D = v o sen ⁡ 45 ° t - g t 2 2

Calculando,

6 D = 2 2 v 0 t 2 D = 2 2 v 0 t - g t 2 2

Show de bola!!

Passo 2

Agora, o tempo para atingir esse ponto, podemos encontrar a partir da primeira equação, tal que:

6 D = 2 2 v 0 t

Ou seja:

t = 6 D 2 v 0

E na vertical:

2 D = v 0 2 2 t - g t 2 2

Agora substituindo o tempo na expressão ali de cima temos:

2 D = v 0 2 2 6 D 2 v 0 - g 2 6 D 2 v 0 2

Uma equação só pra v 0 :

2 D = 6 D - 36 g D 2 v 0 2

v 0 2 36 g D = 1 4

v 0 = 9 g D

Portanto:

v 0 = 3 g D

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo procedimento, mas agora para a posição máxima onde o jato de água ainda atinge o tanque:

Onde esse ponto é dado pelas coordenadas:

x = 7 D ,     y = 2 D

Sendo assim, começamos pelo tempo para atingir a maior distância, que é dado como:

7 D = 2 2 v 0 t

Ou seja:

t = 7 D 2 v 0

E na vertical:

2 D = v 0 2 2 t - g t 2 2

Agora substituindo o tempo na expressão ali de cima temos:

2 D = v 0 2 2 7 D 2 v 0 - g 2 7 D 2 v 0 2

Uma equação só pra v 0 :

2 D = 7 D - 49 g D 2 v 0 2

v 0 2 49 g D = 1 5

v 0 = 49 g D 5

Então o intervalo de velocidades é:

3 g D < v 0 < 49 g D 5

E então! O que achou? Responde Aí!

Resposta

3 g D < v 0 < 49 g D 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um astro do basquete salta 2,80m horizontalmente para enterrar a bola (Fig. P3.18a). O movimento dele pelo espaço pode ser modelado precisamente como aquele de uma partícula no seu centro de massa, qu
Por que a seguinte situação é impossível? Albert Pujols acerta um home run de maneira que a bola ultrapassa a fileira superior da arquibancada, a 24,0 m de altura, localizada a 130 m da base principal
Uma bola é lançada a uma velocidade inicial v i em um ângulo θ i com a horizontal. O alcance horizontal da bola é R e ela atinge a altura máxima R / 6 . Em termos de R e g , encontre (a) o intervalo d
Um navio inimigo está no lado leste de uma ilha montanhosa, como mostrado na Figura P3.62. Esse navio manobrou até uma distância de 2500m do pico de 1800m de altura da montanha e pode lançar projéteis
Uma esquiadora sai de uma rampa de esqui com velocidade de v=10,0m / s em θ=15,0 ° acima da horizontal, como mostrado na Figura P3.52. A encosta onde ela vai pousar é inclinada para baixo em ϕ=50,0 °