Uma mangueira de água é usada para encher um grande tanque cilíndrico com diâmetro D e altura 2 D . O jato de água sai da mangueira a 45 ° acima da horizontal, a partir do mesmo nível da base do tanque, e está a uma distância 6 D (Figura 3.47 ). Para qual alcance de velocidade de lançamento ( v 0 ) a água entrará no tanque? Despreze a resistência do ar e expresse sua resposta em termos de D e g .

Passo 1

Show de bolinhas pessoal? Vamos analisar a situação!

Como a mangueira joga água a partir do chão com uma velocidade inicial v 0 que faz um ângulo α com a horizontal, a água descreve um lançamento obliquo, olha só:

Então as equações do movimento em cada eixo, serão:

x = v 0 cos ⁡ α t y = v o sen ⁡ α t - g t 2 2

A água entra no tanque com passando pelo primeiro ponto sinalizado na figura! Repara que nesse ponto, temos as coordenadas:

x = 6 D ,     y = 2 D

Além disso, o problema nos informa que α = 45 ° , logo:

6 D = v 0 cos ⁡ 45 ° t 2 D = v o sen ⁡ 45 ° t - g t 2 2

Calculando,

6 D = 2 2 v 0 t 2 D = 2 2 v 0 t - g t 2 2

Show de bola!!

Passo 2

Agora, o tempo para atingir esse ponto, podemos encontrar a partir da primeira equação, tal que:

6 D = 2 2 v 0 t

Ou seja:

t = 6 D 2 v 0

E na vertical:

2 D = v 0 2 2 t - g t 2 2

Agora substituindo o tempo na expressão ali de cima temos:

2 D = v 0 2 2 6 D 2 v 0 - g 2 6 D 2 v 0 2

Uma equação só pra v 0 :

2 D = 6 D - 36 g D 2 v 0 2

v 0 2 36 g D = 1 4

v 0 = 9 g D

Portanto:

v 0 = 3 g D

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo procedimento, mas agora para a posição máxima onde o jato de água ainda atinge o tanque:

Onde esse ponto é dado pelas coordenadas:

x = 7 D ,     y = 2 D

Sendo assim, começamos pelo tempo para atingir a maior distância, que é dado como:

7 D = 2 2 v 0 t

Ou seja:

t = 7 D 2 v 0

E na vertical:

2 D = v 0 2 2 t - g t 2 2

Agora substituindo o tempo na expressão ali de cima temos:

2 D = v 0 2 2 7 D 2 v 0 - g 2 7 D 2 v 0 2

Uma equação só pra v 0 :

2 D = 7 D - 49 g D 2 v 0 2

v 0 2 49 g D = 1 5

v 0 = 49 g D 5

Então o intervalo de velocidades é:

3 g D < v 0 < 49 g D 5

E então! O que achou? Responde Aí!

Resposta

3 g D < v 0 < 49 g D 5

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