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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 11

Calcule

[hat P_theta , hat J_z] .

Passo 1

Para resolvermos, vamos basicamente sofrer expandindo essa relação, lembrando o que foi visto no 8.10, onde vemos que

[hat P_theta , hat J_z] = hat P_theta hat J_z - hat J_z hat P_theta

e que

hat P_theta = ([[cos^2 theta,cos theta,sin theta],[cos theta,sin theta,sin^2 theta]])

hat J_z = - i ℏ ([[0,1],[-,1,0]]) .

Passo 2

Bom, primeiramente temos que multiplicar as duas matrizes daquelas duas formas mostradas no passo 1. Depois vamos chorar um pouco, pois vão aparecer expressões bem chatas ;-;. Vamos lá! Primeiro vamos fazer hat P_theta hat J_z .

hat P_theta hat J_z = - i ℏ ([[-,cos theta,sin theta,cos^2 theta],[-,sin^2 theta,cos theta,sin theta]])

Agora temos que multiplicar nosso hat J_z hat P_theta . Vamos chegar que:

hat J_z hat P_theta = - i ℏ ([[cos theta,sin theta,sin^2 theta],[-,cos^2 theta,-,cos theta,sin theta]])

Bom, agora que já temos nossas duas matrizes, precisamos “apenas” subtrair. Fazendo isso, vamos chegar que:

hat P_theta hat J_z - hat J_z hat P_theta = - i ℏ ([[-,cos theta,sin theta,cos^2 theta],[-,sin^2 theta,cos theta,sin theta]]) + i ℏ ([[cos theta,sin theta,sin^2 theta],[-,cos^2 theta,-,cos theta,sin theta]]) =

= - i ℏ ([[-,2,cos theta,sin theta,cos^2 theta,-,sin^2 theta],[-,sin^2 theta,+,cos^2 theta,2,cos theta,sin theta]])

Usando as identidades sin (2 theta) = 2 cos theta sin theta e cos (2 theta) = cos^2 theta - sin^2 theta , vamos ter que:

hat P_theta hat J_z - hat J_z hat P_theta = - i ℏ ([[-,sin (2 theta),cos (2 theta)],[cos (2 theta),sin (2 theta)]])

Resposta

hat P_theta hat J_z - hat J_z hat P_theta = - i ℏ ([[-,sin (2 theta),cos (2 theta)],[cos (2 theta),sin (2 theta)]])

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