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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 22.Exercícios e Problemas - Ex. 15

Calcule o dipolo magnético da bobina descrita no Exemplo 22.1, estado a mesma conduzindo uma corrente de 1,5   A .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Vamos considerar 100 espiras superpostas, uma enrolada sobre a outra. A área de cada uma será π r 2 , com r começando em R 1 = 3,5   c m e indo até R 100 = 13,5   c m , como uma PA de razão

Δ r = R 100 - R 1 100 = 0,1   c m = 1,0   m m

Com isso, temos

A = π R 1 2 + π R 2 2 + … + π R 100 2

O termo geral da PA é

R n = R 1 + n - 1 Δ r

Assim,

R n 2 = R 1 2 + 2 n - 1 Δ r R 1 + n - 1 2 Δ r 2

Com isso, introduzindo a notação de somatório:

A = π ∑ n = 1 100 R n 2 = π ∑ n = 1 100 R 1 2 + 2 n - 1 Δ r + n - 1 2 Δ r 2

Passo 2

Vamos nos concentrar na soma:

S = 100 R 1 2 + 2 Δ r R 1 ∑ n = 1 100 n - 1 + Δ r 2 ∑ n = 1 100 n - 1 2

Observe que

2 Δ r R 1 ∑ n = 1 100 n - 1 = - 200 Δ r R 1 + 2 Δ r R 1 ∑ n = 1 100 n

Δ r 2 ∑ n = 1 100 n - 1 2 = 100 Δ r 2 - 2 Δ r 2 ∑ n = 1 100 n + Δ r 2 ∑ n = 1 100 n 2

Juntando tudo, achamos

S = 100 R 1 - Δ r 2 + 2 Δ r R 1 - Δ r ∑ n = 1 100 n + Δ r 2 ∑ n = 1 100 n 2

Calcula essas somas é uma coisa chatinha. Para isso, vamos usar as fórmulas:

∑ n = 1 N n = 1 + N N 2

∑ n = 1 N n 2 = N N + 1 2 N + 1 6

Essas fórmulas estão disponíveis em qualquer tabela de soma. Se você quiser escrever um código ou usar uma planilha do excel também dá para achar esses valores...

Usando N = 100 nas fórmulas temos que

∑ n = 1 100 n = 5050               e               ∑ n = 1 100 n 2 = 338350

Com isso temos

S = 100 R 1 - Δ r 2 + 2 Δ r R 1 - Δ r ⋅ 5050 + 338350 Δ r 2

Substituindo R 1 = 3,5 ⋅ 10 - 2   m e Δ r = 10 - 3   m , achamos

S = 0,79735   m 2

Assim,

A = π S = 2,5   m 2

Passo 3

Daí fica tranquilo calcular o momento magnético, basta multiplicar essa área pela corrente I = 1,5   A e pelo total de 200 espiras:

μ = 2,5 ⋅ 1,5 ⋅ 200

Fazendo as continhas:

μ = 750   A m 2

Resposta

μ = 750   A m 2

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